Bài 21: Cho phương trình
\({x^2} + {y^2} + px + (p – 1)y = 0\) (1)
Hỏi trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng?
a) (1) là phương trình của một đường tròn.
b) (1) là phương trình của một đường tròn đi qua gốc tọa độ.
c) (1) là phương trình của một đường tròn có tâm \(J\left( { – {p \over 2}; – {{p – 1} \over 2}} \right)\) và bán kính \(R = {1 \over 2}\sqrt {2{p^2} – 2p + 1} \) .
Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) , với điều kiện: \({a^2} + {b^2} > c\) .
Ta có:
\(\eqalign{
& 2a = p;\,\,2b = p – 1;\,\,c = 0 \cr
& \Rightarrow a = {p \over 2};\,\,b = {{p – 1} \over 2} \cr
& {a^2} + {b^2} = {1 \over 4}\left( {2{p^2} – 2p + 1} \right) > 0. \cr} \)
Các mệnh đề đúng là: a), b), d).
Mệnh đề sai: c).
Bài 22: Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau
Advertisements (Quảng cáo)
a) (C) có tâm I(1, 3) và đi qua điểm A(3, 1)
b) (C) có tâm I(-2, 0) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :2x + y – 1 = 0.\)
Giải
a) Bán kính đường tròn (C) là: \(IA = \sqrt {{2^2} + {{( – 2)}^2}} = 2\sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 8\)
b) Bán kính của đường tròn (C) là:
\(R = d\left( {I,\Delta } \right) = {{|2.( – 2) + 0 – 1|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = {5 \over {\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 5.\)
Bài 23: Tìm tâm và bán kính của đường tròn cho bởi mỗi phương trình sau
a) \({x^2} + {y^2} – 2x – 2y – 2 = 0;\)
b) \({x^2} + {y^2} – 4x – 6y + 2 = 0;\)
c) \(2{x^2} + 2{y^2} – 5x – 4y + 1 + {m^2} = 0.\)
a) Ta có: \(a = -1;\,b = -1;\,c = – 2\)
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2} = 2\)
Tâm đường tròn là: I(1, 1) bán kính R=2.
b) Ta có: \(a = – 2;\,b = – 3;\,c = 2\)
\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} = \sqrt {{2^2} + {3^2} – 2} = \sqrt {11} \)
Đường tròn đã cho có tâm I(2, 3) , bán kính \(R = \sqrt {11} \)
c)
\(\eqalign{
& 2{x^2} + 2{y^2} – 5x – 4y + 1 + {m^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – {5 \over 2}x – 2y + {{1 + {m^2}} \over 2} = 0 \cr} \)
Ta có: \(a = – {5 \over 4};\,b = – 1;\,c = {{1 + {m^2}} \over 2}\)
Điều kiện: \({a^2} + {b^2} – c > 0 \Leftrightarrow {{25} \over {16}} + 1 – {{1 + {m^2}} \over 2} > 0\)
\({a^2} + {b^2} – c > 0 \Leftrightarrow {{25} \over {16}} + 1 – {{1 + {m^2}} \over 2} > 0 \)
\(\Leftrightarrow {{33 – 8{m^2}} \over {16}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} < {{33} \over 8} \Leftrightarrow |m| < \sqrt {{{33} \over 8}} \)
Với điều kiện \(|m| < \sqrt {{{33} \over 8}} \) thì (C) là đường tròn có tâm \(I\left( {{5 \over 4};1} \right)\) và bán kính \(R = {1 \over 4}\sqrt {33 – 8{m^2}} \)
