Bài 1.1: Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )
a) \(2 + 5 + 8 + … + \left( {3n – 1} \right) = {{n\left( {3n + 1} \right)} \over 2};\)
b) \(3 + 9 + 27 + … + {3^n} = {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} – 3} \right).\)
a) Đặt vế trái bằng Sn. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có \({S_k} = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2}\) với \(k \ge 1\).
Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}\)
Thật vậy
\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) – 1 \cr
& = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2} + 3k + 2 \cr
& = {{3{k^2} + k + 6k + 4} \over 2} \cr
& = {{3{k^2} + 7k + 4} \over 2} \cr
& {\rm{ = }}{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}{\rm{ }}\left( {đpcm} \right) \cr} \)
b) Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).
Bài 1.2: Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )
a) \({1^2} + {3^2} + {5^2} + … + {\left( {2n – 1} \right)^2} = {{n\left( {4{n^2} – 1} \right)} \over 3};\)
b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {n^3} = {{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over 4}\)
a) Đặt vế trái bằng Sn
Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \({{1\left( {4.1 – 1} \right)} \over 3} = 1\)
Giả sử đã có \({S_k} = {{k\left( {4{k^2} – 1} \right)} \over 3}\) với \(k \ge 1\). Ta phải chứng minh
Advertisements (Quảng cáo)
\({S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} – 1} \right]} \over 3}\)
Thật vậy, ta có
\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) – 1} \right]^2} = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr
& {\rm{ = }}{{k\left( {4{k^2} – 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr
& = {{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k – 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]} \over 3} \cr
& {\rm{ = }}{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)} \over 3} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} \cr
& = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} – 1} \right]} \over 3} \cr} \)
b) Đặt vế trái bằng An
Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có \({A_k} = {{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over 4},\left( {k \ge 1} \right)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3} \cr
& = {{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over 4} + {\left( {k + 1} \right)^3} \cr
& {\rm{ = }}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)} \over 4} \cr
& = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}} \over 4} \cr} \)
Bài 1.3: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có
a) \(2{n^3} – 3{n^2} + n\) chia hết cho 6.
Advertisements (Quảng cáo)
b) \({11^{n + 1}} + {12^{2n – 1}}\) chia hết cho 133.
a) HD: Đặt \({B_n} = 2{n^3} – 3{n^2} + n\) tính B1
Giả sử đã có \({B_k} = 2{k^3} – 3{k^2} + k\) chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh \({B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} – 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k\) chia hết cho 6.
b) Đặt \({A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n – 1}}\) Dễ thấy \({A_1} = 133\) chia hết cho 133.
Giả sử \({A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k – 1}}\) đã có chia hết cho 133.
Ta có
\(\eqalign{
& {A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}} \cr
& = {11.11^{k + 1}} + {12^{2k – 1}}{.12^2} \cr
& {\rm{ = 11}}{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k – 1}}\left( {11 + 133} \right) \cr
& = 11.{A_k} + {133.12^{2k – 1}} \cr} \)
Vì \({A_k} \vdots 133\) nên \({A_{k + 1}} \vdots 133\)
Bài 1.4: Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)
a) \({2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }}\);
b) \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1\)
a) Với n = 1 thì \({2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5\)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\) tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5\,\,\,(1)\)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là \({2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5\) hay \({2^{k + 3}} > 2k + 7\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được
\({2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3\)
Vì \(2k + 3 > 0\) nên \({2^{k + 3}} > 2k + 7\left( {đpcm} \right)\)
b) Với n = 1 thì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) bất đẳng thức đúng.
Giả sử đã có \({\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\) với \(k \ge 1\), ta phải chứng minh
\({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\).
Thật vậy, ta có:
\({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha\)
\( = {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\)
