Trang Chủ Bài tập SGK lớp 10 Bài tập Toán 10 Nâng cao Bài 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK Hình học 10 Nâng...

Bài 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK Hình học 10 Nâng cao: Hiệu của hai vecto

CHIA SẺ
 Bài 3 Hiệu của hai vecto. Giải bài 18, 19, 20 trang 17, 18 Sách giáo khoa Hình lớp 10 Nâng cao.  Chứng minh rằng…;  Cho sáu điểm \(A, B, C, D, E, F\). Chứng minh rằng

Bài 18: Cho hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DA}  – \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có  \(\overrightarrow {DA}  – \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {BA} \) mà \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \) suy ra \(\overrightarrow {DA}  – \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 .\)


Bài 19: Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.

Giả sử \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) và \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} ,\,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} \) suy ra

\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow 0 \cr} \)

Do đó, \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0 \) , tức là \(M \equiv N\).

Vậy trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.

Ngược lại, ta giả sử trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau, suy ra

- Quảng cáo -

 \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {CD} \).


Bài 20: Cho sáu điểm \(A, B, C, D, E, F\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {CF}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {BF}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE} \).

Theo quy tắc ba điểm, ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} } \right) + \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \cr} \)

Tương tự, ta cũng có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \left( {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DE} } \right) + \left( {\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left( {\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left( {\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \cr} \)

Vậy ta có \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {CF}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {BF}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE} \)