Câu 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A = \sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} \)
Đáp án
Điều kiện: \(1 ≤ x ≤ 4\)
Với \(1 ≤ x ≤ 4\), ta có:
\({A^2} = {(\sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} )^2} \)
\( = 3 + 2\sqrt {(x – 1)(4 – x)} \le 3 + x – 1 + 4 – x = 6\)
(Theo bất đẳng thức Cô-si)
Suy ra: \(A \le \sqrt 6 \)
Dấu “=” xảuy ra khi \(x – 1= 4 – x \Rightarrow x = {5 \over 2}\) (thỏa mãn điều kiện : \(1 ≤ x ≤ 4\))
Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\sqrt 6 \)
\({A^2} = 3 + 2\sqrt {(x – 1)(4 – x)} \ge 3\)
vì \(\sqrt {(x – 1)(4 – x)} \ge 0\)
Vậy \(A \ge \sqrt 3 \)
Câu 18: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Đáp án
Ta có:
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
⇔ a2 + b2 + c2 +2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a2 + 3b2 + 3c2
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0
⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 19: Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:
\({\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4} \ge abcd\)
Đáp án
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
\(\eqalign{
& {{{a + b + c + d} \over 4}} \cr&= {1 \over 2}({{a + b} \over 2} + {{c + d} \over 2}) \ge {1 \over 2}(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} )\cr& \ge \sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } = \root 4 \of {abcd} \cr} \)
Bất đẳng thức cô si
\(⇒ {\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4}\ge abcd\)
Câu 20: Chứng minh rằng:
a) Nếu x2 + y2 = 1 thì \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)
b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x2 + y2 ≥ 9
a) Ta có:
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy ≤ x2 + y2 + x2 + y2 = 2
⇒ \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)
b) Vì 4x – 3y = 15 \( \Rightarrow y = {4 \over 3}x – 5\)
Do đó:
\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x – 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} – {{40} \over 3}x + 25 \cr
& ={{25} \over 9}{x^2} – {{40} \over 3}x + 25 = {({5 \over 3}x – 4)^2} + 9 \ge 9 \cr} \)
Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {15^2} = {(4x – 3y)^2} \le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) \cr
& \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge {{225} \over {25}} = 9 \cr} \)
