Bài 11: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của chúng
a)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 – 2t \hfill \cr
y = 5 – t \hfill \cr} \right.\)
và
\(\left\{ \matrix{
x = 8 + 6{t’} \hfill \cr
y = 4 – 3{t’} \hfill \cr} \right.;\)
b)
\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = – 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)
và \({{x – 4} \over 2} = {{y + 7} \over 3};\)
c)
\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr} \right.\)
và \(x + y – 4 = 0\)
a) Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:
\(x + 2y – 14 = 0\) và \(x + 2y – 16 = 0\)
Ta có: \({1 \over 1} \ne {2 \over 2} \ne {{ – 14} \over { – 16}}\)
Do đó hai đường thẳng song song.
b) Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:
\(2x – y – 13 = 0\) và \(3x – 2y – 26 = 0\)
Ta có: \({2 \over 3} \ne {{ – 1} \over { – 2}}.\)
Do đó hai đường thẳng cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
2x – y – 13 = 0 \hfill \cr
3x – 2y – 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = – 13 \hfill \cr} \right.\)
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại M(0, -13)
c) Phương trình tổng quát của hai đường thẳng đã cho là:
Advertisements (Quảng cáo)
\(x + y – 4 = 0\) và \(x + y – 4 = 0\)
Hai đường thẳng trùng nhau
Bài 12: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sau
a)
\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\Delta :{{x – 1} \over 3} = {y \over { – 4}}\)
c) \(\Delta :5x – 12y + 10 = 0.\)
a) \(\Delta :y = 1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta ‘\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {n’} \left( {1;0} \right)\)
Đường thẳng \(\Delta ‘\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình tổng quát là:
\(1.\left( {x – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)
Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy Q(3, 1)
Advertisements (Quảng cáo)
b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {3; – 4} \right)\) . Đường thẳng \(\Delta ‘\) qua P và vuông góc với nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u \left( {3; – 4} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:
\(\eqalign{
& 3.\left( {x – 3} \right) – 4.\left( {y + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x – 4y – 17 = 0. \cr} \)
Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
{{x – 1} \over 3} = {y \over { – 4}} \hfill \cr
3x – 4y – 17 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 4x – 3y + 4 = 0 \hfill \cr
3x – 4y – 17 = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{67} \over {25}} \hfill \cr
y = – {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(Q\left( {{{67} \over {25}}; – {{56} \over {25}}} \right).\)
c) \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {5; – 12} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta ‘\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n \left( {5; – 12} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta ‘\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình chính tắc là:
\({{x – 3} \over 5} = {{y + 2} \over { – 12}} \Leftrightarrow – 12x – 5y + 26 = 0\)
Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
5x – 12x + 10 = 0 \hfill \cr
– 12x – 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{262} \over {169}} \hfill \cr
y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(Q\left( {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right).\)
Bài 13: Trên đường thẳng \(\Delta 😡 – y + 2 = 0\) , Tìm điểm M cách đều hai điểm E(0, 4) và F(4, -9) .
Phương trình tham số của \(\Delta \) là:
\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr} \right.\)
Giả sử \(M\left( {t;2 + t} \right) \in \Delta \) và \(EM = FM\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {t – 2} \right)^2} = {\left( {t – 4} \right)^2} + {\left( {t + 11} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {t^2} + {t^2} – 4t + 4 = {t^2} – 8t + 16 + {t^2} + 22t \cr&\;\;\;+ 121 \cr
& \Leftrightarrow t = {{ – 133} \over {18}} \cr} \)
Vậy \(M\left( { – {{133} \over {18}}; – {{97} \over {18}}} \right).\)
Bài 14: Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (4, -1) . Biết phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x – 3y = 0 và 2x + 5y +6 = 0. Tìm tọa độ ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó.
Giả sử hình bình hành ABCD có:
\(A\left( {4; – 1} \right)\) và \(BC:x – 3y = 0;\,\,CD:2x + 5y + 6 = 0\) (do A không nằm trên hai đường thẳng này).
Vì C là giao của BC và CD nên tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
x – 3y = 0 \hfill \cr
2x + 5y = – 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – {{18} \over {11}} \hfill \cr
y = – {6 \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(C\left( { – {{18} \over {11}}; – {6 \over {11}}} \right).\)
Đường thẳng AD qua A và song song với BC nên có phương trình:
\(1.\left( {x – 4} \right) – 3.\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 3y – 7 = 0.\)
Đường thẳng AB qua A và song song với CD nên có phương trình là:
\(2.\left( {x – 4} \right) + 5.\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y – 3 = 0.\)
B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ của B là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
2x + 5y – 3 = 0 \hfill \cr
x – 3y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {9 \over {11}} \hfill \cr
y = {3 \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(B\left( {{9 \over {11}};{3 \over {11}}} \right).\)
D là giao điểm của AD và CD nên tọa độ của điểm D là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
x – 3y = 7 \hfill \cr
2x + 5y = – 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{17} \over {11}} \hfill \cr
y = – {{20} \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(D\left( {{{17} \over {11}}; – {{20} \over {11}}} \right).\)
