Bài 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
b) Nếu hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta’ \) lần lượt có phương trình \(px + y + m = 0\) và \(x + py + n = 0\) thì:
\(cos(\Delta ,\Delta ‘) = {{2|p|} \over {{p^2} + 1}}.\)
c) Trong tam giác ABC ta có
\(\cos A = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right).\)
d) Nếu \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì
\(cos\varphi = {{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}} \over {2AB.AC}}.\)
e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng
Giải
Advertisements (Quảng cáo)
Các mệnh đề đúng là: b), c), e).
Các mệnh đề sai là: a), d).
Bài 16: Cho ba điểm \(A(4; – 1),B( – 3;2),C(1;6)\) . Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC .
Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { – 7;3} \right);\,\,\overrightarrow {AC} \left( { – 3;7} \right) \cr
& \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{\left( { – 7} \right).\left( { – 3} \right) + 3.7} \over {\sqrt {{{\left( { – 7} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {7^2}} }}\cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{42} \over {58}} = {{21} \over {29}}. \cr
& \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {43^0}36′. \cr} \)
Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \({43^0}36’\) (Vì góc BAC nhọn)
Bài 17: Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng \(ax + by + c = 0\) một khoảng bằng h cho trước.
Gọi \(\Delta :ax + by + c = 0\)
Đường thẳng \(\Delta ‘\) song song với đường thẳng \(\Delta \) đã cho có dạng:
\(\Delta ‘:ax + by + c’ = 0.\)
Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \Delta \) ta có:
\(a{x_0} + b{y_0} + c = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = – c\)
Khoảng cách từ M đến \(\Delta ‘\) bằng h nên ta có:
\(\eqalign{
& h = {{|a{x_0} + b{y_0} + c’|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = {{|c’ – c|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr&\Rightarrow c’ – c = \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr
& \Rightarrow c’ = c \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
\(ax + by + c + h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0;\)
\(ax + by + c – h\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0.\)
