Trang Chủ Bài tập SGK lớp 10 Bài tập Toán 10 Nâng cao Bài 15, 16, 17 trang 89, 90 Sách Hình học 10 Nâng...

Bài 15, 16, 17 trang 89, 90 Sách Hình học 10 Nâng cao: Khoảng cách và góc

CHIA SẺ
Bài 3 Khoảng cách và góc. Giải bài 15, 16, 17 trang 89, 90 SGK Hình học lớp 10 Nâng cao.Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?; Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng

Bài 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

b) Nếu hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta’ \) lần lượt có phương trình \(px + y + m = 0\) và \(x + py + n = 0\) thì:

\(cos(\Delta ,\Delta ‘) = {{2|p|} \over {{p^2} + 1}}.\)

 c) Trong tam giác ABC ta có

\(\cos A = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right).\)

d) Nếu \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì

\(cos\varphi  = {{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}} \over {2AB.AC}}.\)

e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng

Giải

Các mệnh đề đúng là: b), c), e).

Các mệnh đề sai là: a), d).


Bài 16: Cho ba điểm \(A(4; – 1),B( – 3;2),C(1;6)\) . Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC .

Ta có:

- Quảng cáo -

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { – 7;3} \right);\,\,\overrightarrow {AC} \left( { – 3;7} \right) \cr
& \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{\left( { – 7} \right).\left( { – 3} \right) + 3.7} \over {\sqrt {{{\left( { – 7} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {7^2}} }}\cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{42} \over {58}} = {{21} \over {29}}. \cr
& \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {43^0}36′. \cr} \)

Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \({43^0}36’\) (Vì góc BAC nhọn)


Bài 17: Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng \(ax + by + c = 0\) một khoảng bằng h cho trước.

Gọi \(\Delta :ax + by + c = 0\)

Đường thẳng \(\Delta ‘\) song song với đường thẳng \(\Delta \) đã cho có dạng:

\(\Delta ‘:ax + by + c’ = 0.\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \Delta \) ta có:

\(a{x_0} + b{y_0} + c = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} =  – c\)

Khoảng cách từ M đến \(\Delta ‘\) bằng h nên ta có:

\(\eqalign{
& h = {{|a{x_0} + b{y_0} + c’|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = {{|c’ – c|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr&\Rightarrow c’ – c = \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr
& \Rightarrow c’ = c \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

\(ax + by + c + h\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 0;\)

\(ax + by + c – h\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 0.\)