Trang Chủ Bài tập SGK lớp 10 Bài tập Toán 10 Nâng cao

Bài 15, 16, 17 trang 89, 90 Sách Hình học 10 Nâng cao: Khoảng cách và góc

CHIA SẺ
Bài 3 Khoảng cách và góc. Giải bài 15, 16, 17 trang 89, 90 SGK Hình học lớp 10 Nâng cao.Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?; Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng

Bài 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

b) Nếu hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta’ \) lần lượt có phương trình \(px + y + m = 0\) và \(x + py + n = 0\) thì:

\(cos(\Delta ,\Delta ‘) = {{2|p|} \over {{p^2} + 1}}.\)

 c) Trong tam giác ABC ta có

\(\cos A = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right).\)

d) Nếu \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì

\(cos\varphi  = {{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}} \over {2AB.AC}}.\)

e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng

Giải

Các mệnh đề đúng là: b), c), e).

Các mệnh đề sai là: a), d).


Bài 16: Cho ba điểm \(A(4; – 1),B( – 3;2),C(1;6)\) . Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC .

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( { – 7;3} \right);\,\,\overrightarrow {AC} \left( { – 3;7} \right) \cr
& \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{\left( { – 7} \right).\left( { – 3} \right) + 3.7} \over {\sqrt {{{\left( { – 7} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {7^2}} }}\cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{42} \over {58}} = {{21} \over {29}}. \cr
& \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {43^0}36′. \cr} \)

Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \({43^0}36’\) (Vì góc BAC nhọn)


Bài 17: Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng \(ax + by + c = 0\) một khoảng bằng h cho trước.

Gọi \(\Delta :ax + by + c = 0\)

Đường thẳng \(\Delta ‘\) song song với đường thẳng \(\Delta \) đã cho có dạng:

\(\Delta ‘:ax + by + c’ = 0.\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \Delta \) ta có:

\(a{x_0} + b{y_0} + c = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} =  – c\)

Khoảng cách từ M đến \(\Delta ‘\) bằng h nên ta có:

\(\eqalign{
& h = {{|a{x_0} + b{y_0} + c’|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = {{|c’ – c|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr&\Rightarrow c’ – c = \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr
& \Rightarrow c’ = c \pm h\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

\(ax + by + c + h\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 0;\)

\(ax + by + c – h\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 0.\)