Bài 6: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
a) \(m(m – 6)x + m = – 8x + {m^2} – 2\)
b) \({{(m – 2)x + 3} \over {x + 1}} = 2m – 1\)
c) \({{(2m + 1)x – m} \over {x – 1}} = x + m\)
d) \({{(3m – 2)x – 5} \over {x – m}} = – 3\)
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\(({m^2} – 6m + 8)x = {m^2} – m – 2\)
\( \Leftrightarrow (m – 2)(m – 4)x = (m + 1)(m – 2)\)
Kết luận
Với \(x \ne 2\) và \(x \ne 4\) , phương trình có nghiệm \(x = {{m + 1} \over {m – 4}}\)
Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với m = 4, phương trình vô nghiệm.
b)Điều kiện của phương trình là \(x \ne – 1\), ta có
\({{(m – 2)x + 3} \over {x + 1}} = 2m – 1\)
=> \((m – 2)x + 3 = (2m – 1)(x + 1)\)
=> \((m + 1)x = 4 – 2m\) (1)
Với m = -1 phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Với \(m \ne – 1\) phương tình (1) có nghiệm \(x = {{4 – 2m} \over {m + 1}}\)
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \(x \ne – 1\) khi và chỉ khi \({{4 – 2m} \over {m + 1}} \ne – 1\) hay \( – 2m + 4 \ne – m – 1 = > m \ne 5\)
Kết luận
Advertisements (Quảng cáo)
Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm
Với \(m \ne – 1\) và \(m \ne 5\) phương trình có nghiệm là \(x = {{4 – 2m} \over {m + 1}}\)
c) Điều kiện của phương trình là \(x \ne 1\). Khi đó ta có
\({{(2m + 1)x – m} \over {x – 1}} = x + m\)
\( \Leftrightarrow (2m + 1)x – m = (x + m)(x – 1)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – (m + 2)x = 0\)
\( \Leftrightarrow x = 0,x = m + 2\)
Giá trị x = m +2 thỏa mãn điều kiện của phương trình khi \(m \ne – 1\)
Kết luận
Vậy với m = -1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 0;
Với \(m \ne – 1\) phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = m + 2.
d) Điều kiện của phương trình là \(x \ne m\). Khi đó ta có
\({{(3m – 2)x – 5} \over {x – m}} = – 3\)
\( \Leftrightarrow (3m – 2)x – 5 = – 3x + 3m\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow (3m + 1)x = 3m + 5\)
Với \(m \ne – {1 \over 3}\) nghiệm của phương trình cuối là \(x = {{3m + 5} \over {3m + 1}}\)
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi
\({{3m + 5} \over {3m + 1}} \ne m = > 3m + 5 \ne 3{m^2} + m\)
\( \Leftrightarrow 3{m^2} – 2m – 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne – 1\) và \(m \ne {5 \over 3}\)
Kết luận
Với \(m = – {1 \over 3}\) hoặc \(m = – 1\) hoặc \(m = {5 \over 3}\) phương trình vô nghiệm.
Với \(m \ne – {1 \over 3}\), \(m \ne – 1\) và \(m \ne {5 \over 3}\) phương trình có một nghiệm \(x = {{3m + 5} \over {3m + 1}}\)
Bài 7: Cho phương trình
\((m + 2){x^2} + (2m + 1)x + 2 = 0\).
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(m \ne – 2\) \({2 \over {m + 2}} < 0\) suy ra m < -2.
Tổng của hai nghiệm bằng -3 khi \( – {{2m + 1} \over {m + 2}} = – 3 = > m = – 5\) thỏa mãn điều kiện m < -2.
Đáp số: m = -5.
b) Phương trình có nghiệm kép khi \(m \ne – 2\) và ∆ = 0.
\(\Delta = {(2m + 1)^2} – 8(m + 2) = 4{m^2} – 4m – 15\)
\(\Delta = 0 \Leftrightarrow m = {5 \over 2}\) hoặc \(m = – {3 \over 2}\)
Khi \(m = {5 \over 2}\) nghiệm kép của phương trình là \(x = – {{2m + 1} \over {m + 2}} = – {2 \over 3}\)
Khi \(m = – {3 \over 2}\) nghiệm kép của phương trình là x = 2.
Bài 8: Cho phương trình \(9{x^2} + 2({m^2} – 1)x + 1 = 0\)
a) Chứng tỏ rằng với m > 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)mà \({x_1} + {x_2} = – 4\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(\Delta ‘ = {({m^2} – 1)^2} – 9 = ({m^2} + 2)({m^2} – 4) = ({m^2} + 2)(m + 2)(m – 2)\)
Với m > 2 thì \(\Delta ‘ = > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)
Vì \({x_1}.{x_2} = {1 \over 9} > 0\) nên hai nghiệm cùng dấu. Hơn nữa
\({x_1} + {x_2} = – {{2({m^2} – 1)} \over 9} < 0\) với mọi m > 2 nên hai nghiệm đều âm.
b) Ta có \({{ – 2({m^2} – 1)} \over 9} = – 4 \Leftrightarrow {m^2} = 19 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt {19} \)
Với \(m = \pm \sqrt {19} \) thì \(\Delta ‘ > 0\)
Đáp số \(m = \pm \sqrt {19} \)
