Trang Chủ Sách bài tập lớp 10 SBT Toán 10

Bài 23, 24, 25, 26 trang 77, 78 SBT Toán Đại số 10: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: |2x – 5m| = 2x – 3m ?

CHIA SẺ
Bài ôn tập chương III SBT Toán Đại số lớp 10. Giải bài 23, 24, 25, 26 trang 77, 78 Sách bài tập Toán Đại số 10. Câu 23: Cho phương trình …

Bài 23: Cho phương trình 

\((m + 1){x^2} + (3m – 1)x + 2m – 2 = 0\)

Xác định m để phương trình có hai nghiệm \(x{}_1,{x_2}\) mà \(x{}_1 + {x_2} = 3\)

Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Với $$m \ne  – 1$$ ta có: \(\Delta  = {(m – 3)^2} \ge 0\), do đó phương trình luôn luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Xét \({x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {{1 – 3m} \over {m + 1}} = 3 \Leftrightarrow m =  – {1 \over 3}\)

Lúc đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1 và x = 4.

Bài 24: Giải các phương trình

a) \(\sqrt {5x + 3}  = 3x – 7\)

b) \(\sqrt {3{x^2} – 2x – 1}  = 3x + 1\)

c) \({{\sqrt {4{x^2} + 7x – 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2 \)

d) \(\sqrt {2{x^2} + 3x – 4}  = \sqrt {7x + 2} \)

a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge  – {3 \over 5}\). Ta có

\(\sqrt {5x + 3}  = 3x – 7 =  > 5x + 3 = {(3x – 7)^2}\)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} – 47x + 46 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}},{x_2} = {{47 – \sqrt {553} } \over {18}}\)

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, tuy nhiên khi thay vào phương trình đã cho thì giá trị \({x_2}\) bị loại.

Đáp số: \({x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}}\)

b) Điều kiện của phương trình là \(3{x^2} – 2x – 1 \ge 0\). Ta có:

\(\sqrt {3{x^2} – 2x – 1}  = 3x + 1 =  > 3{x^2} – 2x – 1 = {(3x + 1)^2}\)

\( \Leftrightarrow 6{x^2} + 8x + 2 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} =  – {1 \over 3},{x_2} =  – 1\)

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, nhưng thử vào phương trình đã cho thì giá trị \({x_2} =  – 1\) bị loại.

Đáp số: \(x =  – {1 \over 3}\)

c)Điều kiện của phương trình là \(4{x^2} + 7x – 2 \ge 0\) và \(x \ne  – 2\). Ta có:

\({{\sqrt {4{x^2} + 7x – 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2  =  > 4{x^2} + 7x – 2 = 2{(x + 2)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} – x – 10 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm là \({x_1} = {5 \over 2},{x_2} =  – 2\)

Chỉ có giá trị \({x_1} = {5 \over 2},{x_2} =  – 2\)

Chỉ có giá trị \({x_1} = {5 \over 2}\) thỏa mãn điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.

Đáp số: \(x = {5 \over 2}\)

d)Điều kiện của phương trình là \(2{x^2} + 3x – 4 \ge 0\) và \(7x + 2 \ge 0\). Ta có:

\(\sqrt {2{x^2} + 3x – 4}  = \sqrt {7x + 2}  =  > 2{x^2} + 3x – 4 = 7x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} – 4x – 6 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = 3,{x_2} =  – 1\), nhưng giá trị \({x_2} =  – 1\) không thỏa mãn điều kiện của phương tình nên bị loại, giá trị \({x_1} = 3\) nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy nghiệm của phương trình đa cho là x = 3.

Bài 25: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.

a) \(|2x – 5m| = 2x – 3m\)

b) \(|3x + 4m| = |4x – 7m|\)

c) $\((m + 1){x^2} + (2m – 3)x + m + 2 = 0\)

d) \({{{x^2} – (m + 1)x – {{21} \over 4}} \over {x – 3}} = 2x + m\)

a) Với \(x \ge {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành

\(2x – 5m = 2x – 3m \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\)

Vậy với m = 0 thì mọi \(x \ge 0\) đều là nghiệm của phương trình.

Với \(x < {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành

\( – 2x + 5m = 2x – 3m\)

\( \Leftrightarrow 4x = 8m \Leftrightarrow x = 2m\)

Vì $\(x < {{5m} \over 2}\) nên \(2m < {{5m} \over 2} \Leftrightarrow m > 0\).

Kết luận:

Với m > 0 phương trình có nghiệm là x = 2m.

Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.

Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& |3x + 4m| = |4x – 7m| \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x + 4m = 4x – 7m \hfill \cr
3x + 4m = – 4x + 7m \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 11m \hfill \cr
x = {{3m} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 11m và $\(x = {{3m} \over 7}\) với mọi giá trị của m.

c) Với m = -1 phương trình đã cho trở thành

\( – 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 5}$\)

Với \(m \ne  – 1\) phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức \(\Delta  =  – 24m + 1.\)

Nếu \(m \le {1 \over {24}}\) thì \(\Delta  \ge 0\) phương trình có hai nghiệm

\({x_{1,2}} = {{2m – 3 \pm \sqrt {1 – 24m} } \over {2(m + 1)}}\)

Kết luận:

Với \(x > {1 \over {24}}\) phương trình vô nghiệm.

Với \(x \le {1 \over {24}}\) và \(m \ne  – 1\) phương trình có hai nghiệm.

\({x_{1,2}} = {{2m – 3 \pm \sqrt {1 – 24m} } \over {2(m + 1)}}\)

Với m = -1 phương trình có nghiệm là \(x = {1 \over 5}\)

d) Điều kiện của phương trình là: \(x \ne 3.\) Ta có:

\({{{x^2} – (m + 1)x – {{21} \over 4}} \over {x – 3}} = 2x + m =  > {x^2} – (m + 1)x – {{21} \over 4} = (x – 3)(2x + m)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + (2m – 5)x + {{21} \over 4} – 3m = 0\)

Phương trình cuối luôn có nghiệm \({x_1} = {3 \over 2},{x_2} = {{7 – 4m} \over 2}\)

Ta có: \({{7 – 4m} \over 2} \ne 3 \Leftrightarrow m \ne {1 \over 4}\)

Kết luận

Với \(m \ne {1 \over 4}\) phương trình đã cho có hai nghiệm và \(x = {3 \over 2}\) và \(x = {{7 – 4m} \over 2}\)

Với \(m = {1 \over 4}\) phương trình có một nghiệm \(x = {3 \over 2}\)

Bài 26: Giải phương trình 

\(\root 3 \of {{1 \over 2} + x}  + \sqrt {{1 \over 2} – x}  = 1\)

Đặt \(u = \root 3 \of {{1 \over 2} + x} ,v = \sqrt {{1 \over 2} – x} \)   điều kiện \(v \ge 0\)

Ta được hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
u + v = 1 \hfill \cr
{u^3} + {v^2} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
v = 1 – u(1) \hfill \cr
{u^3} + {v^2} – 2u = 0(2) \hfill \cr} \right.\)

(2) \( \Leftrightarrow u({u^2} + u – 2) = 0\)

Phương trình cuối có 3 nghiệm \({u_1} = 0,{u_2} = 1,{u_3} = 2\)

+Với u = 0 ta có v = 1 => \(x =  – {1 \over 2}\)

+Với u =1 ta có v = 0  => \(x = {1 \over 2}\)

+Với u = -2 ta có v = 3 => \(x =  – {{17} \over 2}\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm

\(x =  – {1 \over 2}\), \(x = {1 \over 2}\) và \(x =  – {{17} \over 2}\)