Bài 19: Hãy viết điều kiện của mỗi phương trình
a) \(\sqrt { – 3x + 2} = {2 \over {x + 1}}\)
b) \(\sqrt {x – 2} + x = 3{x^2} + 1 – \sqrt { – x – 4} \)
c) \({{3x + 5} \over {\sqrt {3{x^2} + 6x + 11} }} = \sqrt {2x + 1} \)
d) \({{\sqrt { – 3x + 2} } \over {{x^2} – 9}} = x + 2\)
Điều kiện của mỗi phương trình:
a) \(x \le {2 \over 3}\) và \(x \ne – 1\)
b) \(x \ge 2\) và \(x \le – 4\). Không có số thực x nào thỏa mãn điều kiện của phương trình.
c) \(3{x^2} + 6x + 11 > 0\) và \(x \ge – {1 \over 2}\). Vì ta có \(3{x^2} + 6x + 11 = 3{(x + 1)^2} + 8 > 0\) với mọi x, nên điều kiện của phương trình là \(x \ge – {1 \over 2}\)
d) \(x \ge – 4\) và \(x \ne 3,x \ne – 3\)
Bài 20: Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương
a) \(3x – 1 = 0\) và \({{3mx + 1} \over {x – 2}} + 2m – 1 = 0\)
b) \({x^2} + 3x – 4 = 0\) và \(m{x^2} – 4x – m + 4 = 0\)
Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
a) \(3x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\)
Suy ra \(x = {1 \over 3}\) là nghiệm của phương trình \({{3mx + 1} \over {x – 2}} + 2m – 1 = 0\)
\( \Rightarrow {{3m.{1 \over 3} + 1} \over {{1 \over 3} – 2}} + 2m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = {8 \over 7}\)
b)
\(x_{}^2 + 3x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = – 4 \hfill \cr} \right.\)
Suy ra x = 1 và x = -4 là nghiệm của phương trình \(mx_{}^2 – 4x – m + 4 = 0\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
m.1_{}^2 – 4.1 – m + 4 = 0 \hfill \cr
m.( – 4)_{}^2 – 4.( – 4) – m + 4 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\forall m \hfill \cr
m = – {4 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = – {4 \over 3} \cr} \)
Bài 21: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a) \(2m(x – 2) + 4 = (3 – {m^2})x\)
b) \({{(m + 3)x} \over {2x – 1}} = 3m + 2\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) \({{8mx} \over {x + 3}} = (4m + 1)x + 1\)
d) \({{(2 – m)x} \over {x – 2}} = (m – 1)x – 1\)
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\((m – 1)(m + 3)x = 4(m – 1)\)
Với \(m \ne 1\) và \(m \ne – 3\) phương trình có nghiệm \(x = {4 \over {m + 3}}\);
Với m = 1 mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với m = -3 phương trình vô nghiệm.
b) Điều kiện của phương trình là \(m \ne {1 \over 2}\). Khi đó ta có
\({{(m + 3)x} \over {2x – 1}} = 3m + 2 \Leftrightarrow (m + 2)x = (3m + 2)(2x – 1)\)
\( \Leftrightarrow (5m + 1)x = 3m + 2\)
Nếu $\(m \ne – {1 \over 5}\) thì phương trình có nghiệm \(x = {{3m + 2} \over {5m + 1}}\)
Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi
\({{3m + 2} \over {5m + 1}} \ne {1 \over 2} \Leftrightarrow 6m + 4 \ne 5m + 1 \Leftrightarrow m \ne – 3\)
Nếu \(m = – {1 \over 5}\) phương trình cuối vô nghiệm.
Kết luận.
Advertisements (Quảng cáo)
Với \(m = – {1 \over 5}\) hoặc \(m = – 3\) phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \(m \ne – {1 \over 5}\) và \(m \ne – 3\) nghiệm của phương trình đã cho là \(x = {{3m + 2} \over {5m + 1}}\)
c) Điều kiện của phương trình là \(x \ne – 3\). Khi đó ta có
\({{8mx} \over {x + 3}} = (4m + 1)x + 1 \Leftrightarrow 8mx = {\rm{[}}(4m + 1)x + 1](x + 3)\)
\( \Leftrightarrow (4m + 1){x^2} + 4(m + 1)x + 3 = 0.(1)\) (1)
Với \(m = – {1 \over 4}\) phương trình (1) trở thành
\(3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)
Với \(m \ne – {1 \over 4}\) phương trình (1) là một phương trình bậc hai có
\(\Delta ‘ = {(2m – 1)^2} \ge 0\)
Lúc đó phương trình (1) có hai nghiệm
\({x_1} = – {3 \over {4m + 1}},{x_2} = – 1\)
Ta có \( – {3 \over {4m + 1}} \ne – 3 \Leftrightarrow 4m + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\)
Kết luận
Với m = 0 hoặc \(m = – {1 \over 4}\) phương trình đã cho có một nghiệm x = -1.
Với \(m \ne 0\) và \(m \ne – {1 \over 4}\) phương trình đã cho có hai nghiệm
x = -1 và \(x = – {3 \over {4m + 1}}\)
d) Điều kiện của phương trình là \(x \ne 2\). Khi đó ta có
\({{(2 – m)x} \over {x – 2}} = (m – 1)x – 1 \Leftrightarrow (2 – m)x = (x – 2){\rm{[}}(m – 1)x – 1]\)
\( \Leftrightarrow (m – 1){x^2} – (m + 1)x + 2 = 0(2)\)
Với m = 1 phương trình (2) có dạng
\( – 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Với \(m \ne 1\) thì phương trình (2) là một phương trình bậc hai có :
\(\Delta = {(m – 3)^2} \ge 0\)
Lúc đó phương trình (2) có hai nghiệm
\({x_1} = 1,{x_2} = {2 \over {m – 1}}\)
Ta có: \({2 \over {m – 1}} \ne 2 \Leftrightarrow m – 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 2\)
Kết luận :
Với m = 1 và m = 2 phương trình đã cho có một nghiệm là x = 1.
Với \(m \ne 1\) và \(m \ne 2\) phương trình đã cho có hai nghiệm
x = 1 và \(x = {2 \over {m – 1}}\)
Bài 22: Cho phương trình
\(3{x^2} + 2(3m – 1)x + 3{m^2} – m + 1 = 0\)
a) Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm?
b) Giải phương trình khi m = -1.
a) Phương trình vô nghiệm khi \(\Delta ‘ < 0\)
Xét \(\Delta ‘ = {(3m – 1)^2} – 3(3{m^2} – m + 1) = – 3m – 2\)
\(\Delta ‘ < 0 \Leftrightarrow – 3m – 2 < 0\)
\( \Leftrightarrow m > – {2 \over 3}\)
b) Khi m = -1 phương trình đã cho trở thành \(3{x^2} – 8x + 5 = 0\) và có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = {5 \over 3}\).
