Câu 21: Một bạn tập luận như sau: Do hai vế của bất phương trình \(\sqrt {x – 1} < \,|x|\) luôn không âm nên bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương x – 1 < x2.
Theo em, hai bất phương trình trên có tương đương không? Vì sao?
Đáp án
Không tương đương vì 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ nhất.
Câu 22: Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
a) \(\sqrt x > – \sqrt x \)
b) \(\sqrt {x – 3} < 1 + \sqrt {x – 3} \)
c) \(x + {1 \over {x – 3}} \ge 2 + {1 \over {x – 3}}\)
d) \({x \over {\sqrt {x – 2} }} < {2 \over {\sqrt {x – 2} }}\)
a) Điều kiện:
\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
– x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 0\)
x = 0 không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy \(S = Ø \)
b) Điều kiện: \(x ≥ 3\)
Ta có: \(\sqrt {x – 3} < 1 + \sqrt {x – 3} \Leftrightarrow 0 < 1\) (luôn đúng)
Vậy \(S = [3, +∞)\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) Điều kiện: \(x ≥ 3\)
Ta có:
\(x + {1 \over {x – 3}} \ge 2 + {1 \over {x – 3}} \Leftrightarrow x \ge 2\)
Vậy \(S = [2, +∞) \backslash \left\{ 3 \right\} = [2, 3) ∪ (3, +∞)\)
d) Điều kiện: \(x > 2\)
Ta có:
\({x \over {\sqrt {x – 2} }} < {2 \over {\sqrt {x – 2} }} \Leftrightarrow x < 2\) (loại)
Vậy \(S = Ø\)
Câu 23: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình
\(2x – 1 ≥ 0\).
Advertisements (Quảng cáo)
\(2x – 1 + {1 \over {x – 3}} \ge {1 \over {x – 3}}\) và \(2x – 1 – {1 \over {x + 3}} \ge – {1 \over {x + 3}}\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(2x – 1 \ge 0\) là \(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\)
Tập nghiệm của \(2x – 1 + {1 \over {x – 3}} \ge {1 \over {x – 3}}\) là
\(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\)\(\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Tập nghiệm của \(2x – 1 – {1 \over {x + 3}} \ge – {1 \over {x + 3}}\) là \(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\)
Vậy \(2x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x – 1 – {1 \over {x + 3}} \ge – {1 \over {x + 3}}\)
Câu 24: Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, hãy chọn ra tất cả các cặp bất phương trình tương đương (nếu có).
a) \(x – 2 > 0\) và \(x^2(x – 2) < 0\);
b) \(x – 2 < 0\) và \(x^2(x – 2) > 0\);
c) \(x – 2 ≤0\) và \(x^2(x – 2) ≤ 0\);
d) \(x – 2 ≥ 0\) và \(x^2(x – 2) ≥ 0\).
a) Tập nghiệm của \(x – 2 > 0\) là \(S = (2, +∞)\)
Tập nghiệm của \(x^2(x – 2) < 0\) là \(S = (-∞, 2)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Do đó: \(x – 2 > 0\) và \(x^2(x – 2) < 0\) không tương đương.
b) Tập nghiệm của \(x – 2 < 0\) là \(S = (-∞, 2)\)
Tập nghiệm của \(x^2(x – 2) > 0\) là \(S = (2, +∞)\)
Do đó: \(x – 2 < 0\) và \(x^2(x – 2) > 0\) không tương đương.
c) Tập nghiệm của \(x – 2 ≤ 0\) là \(S = (-∞, 2]\)
Tập nghiệm \(x^2(x – 2) ≤ 0\) là \(S = (-∞, 2]\)
Do đó: \(x – 2 ≤ 0\) và \(x^2(x – 2) ≤ 0\) là tương đương.
d) Tập nghiệm của \(x – 2 ≥ 0\) là \([2, +∞)\)
Tập nghiệm \(x^2(x – 2) ≥ 0\) là \([2, +∞) ∪\left\{ 0 \right\}\)
Do đó: \(x – 2 ≥ 0\) và \(x^2(x – 2) ≥ 0\) không tương đương.
