Câu 64: Cho tam giác ABC. Tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C.
Điểm O cách đều hai điểm A và B
\( \Rightarrow \) O thuộc đường trung trực của AB.
Điểm O cách đều hai điểm A và C
\( \Rightarrow \) O thuộc đường trung trực AC.
Điểm O cách đều hai điểm B và C
\( \Rightarrow \) O thuộc đường trung trực của BC.
Trong tam giác ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, ta dựng đường trung trực AB và BC cắt nhau tại O.
Điểm O điểm cần tìm.
Câu 65: Cho hình bên. Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng.
Nối KA, KB, KC.
Ta có KD là đường trung trực của AB
\( \Rightarrow \) KA = KB (tính chất đường trung trực)
\( \Rightarrow \) ∆KAB cân tại K nên KD là đường phân giác của \(\widehat {AKB}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {{K_1}} = \widehat {{K_3}}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {AKB} = 2\widehat {{K_1}}\) (1)
KE là đường trung trực của AC
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow \) KA = KC (tính chất đường trung trực)
\( \Rightarrow \) ∆KAC cân tại K nên KE là đường phân giác của \(\widehat {AKC}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {{K_2}} = \widehat {{K_4}}\)
\( \Rightarrow \widehat {AKC} = 2\widehat {{K_2}}\left( 2 \right)\)
\(\eqalign{
& K{\rm{D}} \bot AB\left( {gt} \right) \cr
& AC \bot AB\left( {gt} \right) \cr} \)
Câu 66: Dựa vào kết quả của bài 65, chứng minh rằng:
a) Các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.
b) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
a) Kẻ đường trung trực AC cắt BC tại K.
Nối AK.
=>AK = KC (tính chất đường trung trực)
Advertisements (Quảng cáo)
=>∆KAC cân tại K
\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{A}}C} = \widehat C\) (1)
\(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2)
\(\widehat {K{\rm{A}}C} + \widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat B\)
ð ∆KAB cân tại K
ð KA = KB
Nên K thuộc đường trung trực của AB
Suy ra K là giao điểm ba đường trung trực của ∆ABC
Suy ra: KB = KC = KA
=>K là trung điểm của BC
Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm cạnh huyền.
b) Giả sử ∆ABC có Â = 90°. M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA
Xét ∆AMC và ∆BMD:
BM = CM (gt)
\(\widehat {AMC} = \widehat {BM{\rm{D}}}\) (đối đỉnh)
MA = MD (theo cách vẽ)
Do đó: ∆AMC = ∆BMD (c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat D\)
Suy ra: BD // AC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
\({\rm{AC}} \bot {\rm{AB}}\) (gt)
Suy ra: \(B{\rm{D}} \bot AB\) hay \(\widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \)
Xét ∆ABC và ∆BAD:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \)
AB cạnh chung
BD = AC (Vì ∆AMC = ∆MBD)
Do đó: ∆ABC = ∆BAD (c.g.c)
=>AD = BC
\(AM = M{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow AM = {1 \over 2}BC\)
Vậy trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
