Bài 1 Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Sách Bài Tập Toán lớp 7 tập 2. Giải bài 7, 8, 9, 10 trang 37 Sách Bài Tập Toán lớp 7 tập 2. Câu 7: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh …
Câu 7: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh \(\widehat {BAM}\) và \(\widehat {CAM}\).
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
Xét ∆AMB và ∆DMC:
MA = MD (theo cách vẽ)
\(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)
MB = MC (gt)
Do đó: ∆AMB = ∆DMC (c.g.c)
Nên: AM = CD (2 cạnh tương ứng)
\(\widehat D = \widehat {{A_1}}\) (2 góc tương ứng) (1)
AB < AC (gt)
Suy ra: CD < AC
Trong ∆ADC ta có: CD < AC
Nên \(\widehat D = \widehat {{A_2}}\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) hay \(\widehat {BAM} > \widehat {MAC}\)
Câu 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh các độ dài BD, DC.
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB
AB < AC nên AE < AC => E nằm giữa A và C
Advertisements (Quảng cáo)
Xét ∆ABD và ∆AED:
AB = AE (theo cách vẽ)
\(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{AD}}}\left( {gt} \right)\)
AD cạnh chung
Do đó: ∆ABD = ∆AED (c.g.c)
=> BD = DE (2 cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{ED}}}\) (2 góc tương ứng)
\(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)
\(\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {{E_1}} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)
Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\)
Trong ∆ABC ta có \(\widehat {{B_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh B.
\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} > \widehat C\) (tính chất góc ngoài tam giác)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: \(\widehat {{E_1}} > \widehat C\)
Trong ∆DEC ta có: \(\widehat {{E_1}} > \widehat C\)
\( \Rightarrow \) DC > DE (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Suy ra: BD < DC.
Câu 9: Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
Xét ∆ABC có \(\widehat A = 90^\circ ;\widehat B = 30^\circ \)
Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC
Suy ra: ∆ACD cân tại C
Mà \(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)
\( \Rightarrow \widehat C = 90^\circ – \widehat B = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \)
Suy ra: ∆ACD đều
\( \Rightarrow \) AC = AD = DC và \(\widehat {{A_1}} = 60^\circ \)
\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{A_2}} = 90^\circ – \widehat {{A_1}} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ \)
Trong ∆ADB ta có: \(\widehat {{A_2}} = \widehat B = 30^\circ \)
Suy ra: ∆ADB cân tại D (vì có 2 góc kề cạnh AB bằng nhau)
\( \Rightarrow \) AD = DB
Suy ra: AC = CD = DB mà CD + DB = BC
Vậy \(AC = {1 \over 2}BC\)
Câu 10: Chứng minh rằng định lý “Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” theo gợi ý sau:
Cho tam giác ABC có \(\widehat B > \widehat C\)
a) Có thể xảy ra AC < AB hay không ?
b) Có thể xảy ra AC = AB hay không ?
a) Nếu AB > AC thì \(\widehat C > \widehat B\) (góc đối diện với cạnhlớn hơn là góc lớn hơn)
Điều này trái với giả thiết \(\widehat B > \widehat C\)
b) Nếu AB = AC thì ∆ABC cân tại A.
\(\Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)
Điều này trái với giả thiết \(\widehat B > \widehat C\)
Vậy: \(\widehat B > \widehat C\) thì AC > AB
