Câu 49: Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.
∆ABC cân tại A.
DB = DC (gt)
Nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của góc BAC.
\(\eqalign{
& DE \bot AB\left( {gt} \right) \cr
& DF \bot {\rm{A}}C\left( {gt} \right) \cr} \)
Suy ra: DE = DF (tính chất đường phân giác của góc).
Câu 50: Cho tam giác ABC có Â = 70°, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính \(\widehat {BIC}\).
Trong ∆ABC ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ – \widehat A = 180^\circ – 70^\circ = 110^\circ \
\(\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\) (vì BD là tia phân giác)
\(\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\) (vì CE là tia phân giác)
Trong ∆BIC ta có:
\(\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác)
\(\Rightarrow \widehat {BIC} = 180 – (\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}})\)
\(\widehat {BIC} = 180^\circ – {1 \over 2}(\widehat B + \widehat C) = 180^\circ – {1 \over 2}.110^\circ = 125^\circ \)
Câu 51: Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CB cắt nhau tại I trong đó góc BIG bằng:
a) 120°
b) ∝(∝ > 90°)
Trong ∆BIC ta có: \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác)
\(\Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ – \widehat {BIC} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\) (Vì BD là tia phân giác)
\(\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\) (Vì CE là tia phân giác)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 2\left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = 2.60^\circ = 120^\circ \)
Trong ∆ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ – (\widehat B + \widehat C) = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ \)
Câu 52: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Kẻ \(IH \bot AB,IJ \bot BC,IG \bot AC\),
\(KD \bot AB,KE \bot AC,KF \bot BC\)
I nằm trên tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)
\( \Rightarrow \) IH = IG (tính chất tia phân giác)
I nằm trên tia phân giác của \(\widehat {BCA}\)
\( \Rightarrow \) IG = IJ (tính chất tia phân giác)
Suy ra: IH = IJ
Nên I nằm trên tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
K nằm trên tia phân giác của \(\widehat {DAC}\)
\( \Rightarrow \) KD = KE (tính chất tia phân giác)
K nằm trên tia phân giác của \(\widehat {ACF}\)
\( \Rightarrow \) KE = KF (tính chất tia phân giác)
Suy ra: KD = KF => K nằm trên tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: B, I, K thẳng hàng
Câu 53: Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC.
a) Chứng minh rằng AD = AE.
b) Tính các dộ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm.
a) I là giao điểm phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) nên AI là tia phân giác của Â.
\( \Rightarrow \) ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)
∆ADI vuông tại D có \(\widehat {DAI} = 45^\circ \)
Nên ∆ADI vuông cân tại D.
\( \Rightarrow \) ID = DA (2)
∆AEI vuông tại E có \(\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \)
Nên ∆ AEI vuông cân tại E
\( \Rightarrow \) IE = AE (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE
b) Trong tam giác vuông ABC có Â=90°
Theo định lý Pitago ta có:
\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \)
\( \Rightarrow \) BC = 10 (cm)
Kẻ \(IF \bot BC\)
Xét hai tam giác vuông IDB và IFB:
\(\eqalign{
& \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \cr
& \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \cr} \)
Cạnh huyền BI chung
Do đó: ∆IDB = ∆IFB (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow \) DB = FB (4)
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC:
\(\eqalign{
& \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr
& \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \cr} \)
Cạnh huyền CI chung
Do đó: ∆IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow \) CE = CF (5)
AD + AE = AB – DB + AC – CE
\( \Rightarrow \) AD + AE = AB + AC – (DB + CF) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra:
AD + AE = AB + AC – (FB + FC) = AB + AC – BC
AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4 (cm)
Mà AD = AE (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \) AD = AE = 4: 2 = 2 (cm)
