Bài 30: Cho elip (E) có phương trình chính tắc \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) . Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Tiêu cự của (E) là 2c, trong đó \({c^2} = {a^2} – {b^2}.\)
b) (E) có độ dài trục lớn bằng 2a, độ dài trục bé bằng 2b,
c) (E) có tâm sai \(e = – {c \over a}.\)
d) Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1} = ( – c;0),{F_2} = (c;0).\)
e) Điểm (b, 0) là một đỉnh của (E).
Các mệnh đề đúng là: a); b); d).
Các mệnh đề sai là: c); e).
Bài 31: Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau
\(\eqalign{
& a){{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1; \cr
& b){{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1; \cr
& c){x^2} + 4{y^2} = 4. \cr} \)
a) Ta có: \(a = 5;b = 2;c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = \sqrt {21} \)
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { – \sqrt {21} ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt {21} ;0} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { – 5;0} \right);{A_2}\left( {5;0} \right);{B_1}\left( {0; – 2} \right);{B_2}\left( {0;2} \right)\)
Độ dài trục lớn \(2a = 10\) , độ dài trục bé \(2b = 4\)
b) Ta có: \(a = 3;b = 2;c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = \sqrt 5 .\)
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { – \sqrt 5 ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { – 3;0} \right);{A_2}\left( {3;0} \right);{B_1}\left( {0; – 2} \right);{B_2}\left( {0;2} \right).\)
Độ dài trục lớn \(2a = 6\) , độ dài trục bé \(2b = 4\)
c) Ta có: \({x^2} + 4{y^2} = 4 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 4} + {y^2} = 1\)
\(a = 2;b = 1;c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} = \sqrt 3 .\)
Advertisements (Quảng cáo)
Tọa độ các tiêu điểm: \({F_1}\left( { – \sqrt 3 ;0} \right);{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { – 2;0} \right);{A_2}\left( {2;0} \right);{B_1}\left( {0; – 1} \right);{B_2}\left( {0;1} \right).\)
Độ dài trục lớn \(2a = 4\) , độ dài trục bé \(2b = 2\)
Bài 32: Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau
a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \(e = {{\sqrt 3 } \over 2};\)
b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4;
c) (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)
a) Ta có:
\(\eqalign{
& 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4 \cr
& e = {c \over a} = {{\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \cr
& {b^2} = {a^2} – {c^2} = 16 – 12 = 4 \cr} \)
Vậy \((E):{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& 2b = 8 \Leftrightarrow b = 4 \cr
& 2c = 4 \Leftrightarrow c = 2 \cr
& {a^2} = {b^2} + {c^2} = 16 + 4 = 20 \cr} \)
Vậy \((E):{{{x^2}} \over {20}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.\)
c) Ta có: \(c = \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} – {b^2} = 3\)
Giả sử: \((E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
\(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\) nên \({1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{a^2} – {b^2} = 3 \hfill \cr
{1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
{1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
4{b^4} + 5{b^2} – 9 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{b^2} = – {9 \over 4}\,(loai) \hfill \cr
{b^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
