Bài 27: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\) trong mỗi trường hợp sau
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x – y + 17 = 0;\)
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y – 5 = 0;\)
c) Tiếp tuyến đi qua điểm (2, -2)
Đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 4\) có tâm O ( 0;0 ) bán kính R = 2.
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x – y + 17 = 0;\) có dạng \(\Delta :3x – y + c = 0.\)
Ta có: \(d\left( {O,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt {10} .\)
Vậy các tiếp tuyến cần tìm là:
\(3x – y – 2\sqrt {10} = 0;\,\,\,3x – y + 2\sqrt {10} = 0.\)
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y – 5 = 0;\) có dạng:
\(d:\,2x – y + c = 0.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(d\left( {O,d} \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow c = \pm 2\sqrt 5 .\)
Vậy các tiếp tuyến cần tìm là:
\(2x – y – 2\sqrt 5 = 0\,;\,\,\,\,\,2x – y + 2\sqrt 5 = 0.\)
Bài 28: Xét vị trí tương đối của đường thẳng \(\Delta \) và đường tròn (C) sau đây
\(\eqalign{
& \Delta :3x + y + m = 0, \cr
& (C):{x^2} + {y^2} – 4x + 2y + 1 = 0. \cr} \)
(C) có tâm \(I(2, -1)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} – 1} = 2.\)
Khoảng cách từ I đến \(\Delta \) là:
Advertisements (Quảng cáo)
\(d\left( {I,\Delta } \right) = {{|3.2 – 1 + m|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }}\)
+) Nếu
\({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow |m + 5| > 2\sqrt {10}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < – 5 -2 \sqrt {10} \hfill \cr
m > – 5 + 2\sqrt {10} \hfill \cr} \right.\)
thì \(\Delta \) và (C) cắt nhau.
+) Nếu \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} = 2 \Leftrightarrow |5 + m| = 2\sqrt {10} \Leftrightarrow m = – 5 \pm 2\sqrt {10} \) thì \(\Delta \) và (C) tiếp xúc.
+) Nếu \({{|5 + m|} \over {\sqrt {10} }} < 2 \Leftrightarrow |5 + m| < 2\sqrt {10} \)
\(\Leftrightarrow – 5 – 2\sqrt {10} < m < – 5 + 2\sqrt {10} \) thì \(\Delta \) và (C) không cắt nhau.
Bài 29: Tìm tọa độ các giao điểm của hai đường tròn sau đây
\(\eqalign{
& (C):{x^2} + {y^2} + 2x + 2y – 1 = 0, \cr
& (C’):{x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 7 = 0. \cr} \)
\(\eqalign{
& (C):{x^2} + {y^2} + 2x + 2y – 1 = 0\,\,\,\,(\,1\,) \cr
& (C’):{x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 7 = 0\,\,\,(2) \cr} \)
Lấy (1) trừ (2) ta được \(4x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = – {3 \over 2}.\)
Thay \(x = – {3 \over 2}\) vào (1) ta được:
\({9 \over 4} + {y^2} – 3 + 2y – 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} + 2y – {7 \over 4} = 0\)
\(\Leftrightarrow y = – 1 \pm {{\sqrt {11} } \over 2}\)
Tọa độ hai giao điểm của (C) và (C’) là:
\(\left( { – {3 \over 2}; – 1 – {{\sqrt {11} } \over 2}} \right);\,\,\,\left( { – {3 \over 2}; – 1 + {{\sqrt {11} } \over 2}} \right)\)
