Bài 1: Cho các vectơ: \(\overrightarrow u = \overrightarrow i – 2\overrightarrow j \,;\,\overrightarrow v = 3\overrightarrow i + 5\left( {\overrightarrow j – \overrightarrow k } \right)\,;\,\)
\(\overrightarrow {\rm{w}} = 2\overrightarrow i – \overrightarrow k + 3\overrightarrow j \)
a) Tìm toạ độ của các vectơ đó.
b) Tìm côsin của các góc \(\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right)\,;\,\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right)\,;\,\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right)\).
c) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \,,\,\overrightarrow u .\overrightarrow {\rm{w}} \,,\,\overrightarrow v .\overrightarrow {\rm{w}} \).
a) \(\overrightarrow u = \left( {1; – 2;0} \right)\,;\,\overrightarrow v = \left( {3;5; – 5} \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}} = \left( {2;3; – 1} \right)\)
b)
\(\eqalign{
& \cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {3 \over {\sqrt {59} }} \cr
& \cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow j } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow j } \right|}} = {5 \over {\sqrt {59} }} \cr
& \cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow k } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {{ – 5} \over {\sqrt {59} }} \cr} \)
c)
\(\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.3 – 2.5 + 0\left( { – 5} \right) = – 7 \cr
& \overrightarrow u .\overrightarrow w = 1.2 – 2.3 + 0\left( { – 1} \right) = – 4 \cr
& \overrightarrow v .\overrightarrow w = 3.2 + 5.3 + (-5).(-1) = 26 \cr} \)
Bài 2: Cho vectơ \(\overrightarrow u \) tùy ý khác \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = 1\)
Advertisements (Quảng cáo)
Giả sử \(\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {x \over {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \)
\(\Rightarrow {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{{x^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\)
Tương tự: \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) = {{{y^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) và \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\).
Vậy \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) \)
\(= {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3: Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow v = \left( {2\,;\,1\,;\, – 1} \right)\).
b) \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \,\,;\,\,\overrightarrow v = – 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \).
a) \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow v } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {2 \over {\sqrt 3 .\sqrt 6 }} = {{\sqrt 2 } \over 3}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow u = \left( {3;4;0} \right)\,;\,\overrightarrow v = \left( {0; – 2;3} \right) \)
\(\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow v } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|}} = {{ – 8\sqrt {13} } \over {65}}\)
Bài 4: Biết \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2\,;\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5\), góc giữa vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng \({{2\pi } \over 3}\). Tìm k để vectơ \(\overrightarrow p = k\overrightarrow u + 17\overrightarrow v \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow q = 3\overrightarrow u – \overrightarrow v \).
Ta có
\(\eqalign{
& \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \cos {{2\pi } \over 3} = – {1 \over 2}\,;\,\overrightarrow p \bot \overrightarrow q \cr
& \overrightarrow p .\overrightarrow q = 0 \Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow u + 17\overrightarrow v } \right)\left( {3\overrightarrow u – \overrightarrow v } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3k{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} – 17{\left| {\overrightarrow v } \right|^2} + \left( {51 – k} \right)\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3k.4 – 17.25 + \left( {51 – k} \right).2.5.\left( { – {1 \over 2}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 17k – 680 = 0 \cr
& \Leftrightarrow k = 40 \cr} \)
Vậy với k = 40 thì \(\overrightarrow p \bot \overrightarrow q \)
