Câu 44 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Qua O kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB và AC. Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d. Chứng minh rằng:
\({\rm{AA’ = }}{{BB’ + CC’} \over 2}\)
Ta có: BB’ ⊥ d (gt)
CC’ ⊥ d (gt)
Suy ra: BB’ // CC’
Tứ giác BB’CC’ là hình thang
Kẻ MM’ ⊥ d
⇒ MM’ // BB’ // CC’
Nên MM’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’
\( \Rightarrow MM’ = {{BB’ + CC’} \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét hai tam giác vuông AA’O và MM’O:
\(\widehat {OA’A} = \widehat {OM’M}\)
AO = MO (gt)
\(\widehat {AOA’} = \widehat {MOM’}\) (đối đỉnh)
Do đó: ∆ AA’O = ∆ MM’O (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ AA’ = MM’ (2)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ (1) và (2) suy ra: \({\rm{AA’ = }}{{BB’ + CC’} \over 2}\).
Câu 4.1: Trên hình bs.1, ta có AB // CD // EF // GH và AC = CE = EG. Biết CD = 9, GH = 13. Các độ dài AB và EF bằng:
A. 8 và 10 B.6 và 12
C. 7 và 11 D. 7 và 12
Chọn C. 7 và 11.
Câu 4.2: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B có khoảng cách đến đường thẳng d theo thứ tự là 20cm và 6cm. Gọi C là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng d.
a) Trường hợp A và B nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng d.
Gọi A’, B’ là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d
Advertisements (Quảng cáo)
AA’ ⊥ d; BB’ ⊥ d ⇒ AA’ // BB’
Tứ giác ABB’A’ là hình thang. Kẻ CH ⊥ d
⇒ CH // AA’ // BB’ nên CG là đường trung bình của hình thang ABB’A’
\( \Rightarrow CH = {{AA’ + BB’} \over 2} = {{20 + 6} \over 2} = 13\,\,\left( {cm} \right)\)
b) Trường hợp A và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa đường thẳng d
Kẻ CH ⊥ d cắt A’B tại K
⇒ CH // AA’ // BB’
Trong ∆ AA’B ta có: AC = CB
Mà CK // AA’ nên A’K = KB và CK là đường trung bình của tam giác AA’B
\( \Rightarrow CK = {{AA’} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(CK = {{20} \over 2} = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
Trong ∆ A’BB’ có A’K = KB và KH // BB’
Nên KH là đường trung bình của ∆ A’BB’
\( \Rightarrow KH = {{BB’} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow KH = {6 \over 2} = 3\,\,\left( {cm} \right)\)
CH = CK – KH = 10 – 3 = 7(cm)
Câu 4.3: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng AK = 2KC.
Gọi H là trung điểm của AK
Trong ∆ ADK ta có BH là đường trung bình của ∆ ADK.
⇒ BH // DK (tính chất đường trung bình của tam giác)
Hay BH // MK
Trong ∆ BCH ta có M là trung điểm của BC
MK // BH
⇒ CK = HK
AK = AH + HK = 2HK
Suy ra: AH = 2 CK.
