Câu 154: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE.
Trên tia đối tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK
Ta có: AK + CE = CM + CE = EM (*)
Xét ∆ ABK và ∆ CBM:
AB = CB (gt)
\(\widehat A = \widehat C = {90^0}\)
AK = CM (theo cách vẽ)
Do đó: ∆ ABK = ∆ CBM (c.g.c)
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_4}\) (1)
\(\widehat {KBC} = {90^0} – {\widehat B_1}\) (2)
Trong tam giác CBM vuông tại C.
\(\widehat M = {90^0} – {\widehat B_4}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {KBC} = \widehat M\) (4)
\(\widehat {KBC} = {\widehat B_2} + {\widehat B_3}\) mà \({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (gt)
\({\widehat B_1} = {\widehat B_4}\) (chứng minh trên)
Suy ra: \({\widehat B_2} = {\widehat B_4} \Rightarrow {\widehat B_2} + {\widehat B_3} = {\widehat B_3} + {\widehat B_4}\) hay \(\widehat {KBC} = \widehat {EBM}\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {EBM} = \widehat M\)
⇒ ∆ EBM cân tại E ⇒ EM = BE (**)
Từ (*) và (**) suy ra: AK + CE = BE.
Câu 155: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.
a. Chứng minh rằng CE vuông góc với DF
b. Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD
HD . Gọi K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng KA // CE.
Advertisements (Quảng cáo)
a. Xét ∆ BEC và ∆ CFD:
BE = CF (gt)
\(\widehat B = \widehat C = {90^0}\)
BC = CD (gt)
Do đó: ∆ BEC = ∆ CFD (c.g.c)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1} \cr & {\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {90^0} \cr} \)
Suy ra: \({\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}\)
Trong ∆ DCM có \({\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}\)
Suy ra: \(\widehat {DMC} = {90^0}\). Vậy CE ⊥ DF
b. Gọi K là trung điểm của DC, AK cắt DF tại N.
Xét tứ giác AKCE ta có:
AB // CD hay AE // CK
AE = \({1 \over 2}\)AB (gt)
CK = \({1 \over 2}\)CD (theo cách vẽ)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: AE // CK nên tứ giác AKCE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
AK // CE
DF ⊥ CE (chứng minh trên)⇒ AK ⊥ DF hay AN ⊥ DM
Trong ∆ DMC ta có: DK = KC
KN // CM
nên DN = MN (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: ∆ ADM cân tại A (vì có đường cao vừa là đường trung tuyến)
⇒ AD = AM
Câu 156: Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho\(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\).
a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho\(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.
b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.
a. Xét ∆ EDC và ∆ FDA :
\(\widehat {EDC} = \widehat {FAD} = {15^0}\)
DC = AD (gt)
\(\widehat {ECD} = \widehat {FDA} = {15^0}\)
Do đó: ∆ EDC = ∆ FDA (g.c.g)
⇒ DE = DF
⇒ ∆ DEF cân tại D
Ta lại có:
\(\eqalign{ & \widehat {ADC} = \widehat {FDA} + \widehat {FDE} + \widehat {EDC} \cr & \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {ADC} – \left( {\widehat {FDA} + \widehat {EDC}} \right) \cr & = {90^0} – \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {60^0} \cr} \)
Vậy ∆ DEF đều.
b. Xét ∆ ADE và ∆ BCE:
ED = EC (vì ∆ EDC cân tại E)
\(\widehat {ADE} = \widehat {BCE} = {75^0}\)
AD = BC (gt)
Do đó: ∆ ADE = ∆ BCE (c.g.c)
⇒ AE = BE (1)
Trong ∆ AFD ta có:
\(\eqalign{ & \widehat {AFD} = {180^0} – \left( {\widehat {FAD} + \widehat {FDA}} \right) \cr & = {180^0} – \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {150^0} \cr & \widehat {AFD} + \widehat {DFE} + \widehat {AFE} = {360^0} \cr & \Rightarrow \widehat {AFE} = {360^0} – \left( {\widehat {AFD} + \widehat {DFE}} \right) \cr & = {360^0} – \left( {{{150}^0} + {{60}^0}} \right) = {150^0} \cr} \)
Xét ∆ AFD và ∆ AEF:
AF cạnh chung
\(\widehat {AFD} = \widehat {AFE} = {150^0}\)
DF = EF (vì ∆ DFE đều)
Do đó: ∆ AFD = ∆ AEF (c.g.c)
⇒ AE = AD
AD = AB (gt)
Suy ra: AE = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE = AB = BE. Vậy ∆ AEB đều.
