Câu 151: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ FH ⊥ AE (H ∈ AE), FH cắt BC ở G.
Tính số đo góc FAG.
Xét hai tam giác vuông DAF và HAF:
\(\widehat {ADF} = \widehat {AHF} = {90^0}\)
\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (gt)
AF cạnh huyền
Do đó: ∆ DAF = ∆ HAF (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ DA = HA
DA = AB (gt)
Suy ra: HA = AB
Xét hai tam giác vuông HAG và BAG:
\(\widehat {AHG} = \widehat {ABG} = {90^0}\)
HA = BA (chứng minh trên)
AG cạnh huyền chung
Do đó: ∆ HAG = ∆ BAG (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\)nên AG là tia phân giác của \(\widehat {EAB}\)
\(\widehat {FAG} = {\widehat A_2} + {\widehat A_3} = {1 \over 2}\left( {\widehat {DAE} + \widehat {EAB}} \right) = {1 \over 2}{.90^0} = {45^0}\)
Câu 152: Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh CD lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hình vuông DKIH (H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.
Xét ∆ CAB và ∆ EMB :
CA = ME (gt)
\(\widehat C = \widehat E = {90^0}\)
CB = EB (tính chất hình vuông)
Do đó: ∆ CAB = ∆ EMB (c.g.c)
⇒ AB = MB (1)
AK = DK +DA
CD = CA + AD
Advertisements (Quảng cáo)
mà CA = DK nên AK = CD
Xét ∆ CAB và ∆ KIA :
CA = KI (vì cùng bằng DK)
\(\widehat C = \widehat K = {90^0}\)
CB = AK (vì cùng bằng CD)
Do đó: ∆ CAB = ∆ KIA (c.g.c)
⇒ AB = AI (2)
DH = DK (vì KDHI là hình vuông)
EM = DK (gt)
⇒ DH + HE = HE + EM
hay DE = HM
Xét ∆ HIM và ∆ EMB :
HI = EM (vì cùng bằng DK)
\(\widehat H = \widehat E = {90^0}\)
HM = EB (vì cùng bằng DE)
Do đó: ∆ HIM = ∆ EMB (c.g.c)
⇒ IM = MB (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = BM = AI = IM
Advertisements (Quảng cáo)
Tứ giác ABMI là hình thoi.
Mặt khác, ta có ∆ ACB = ∆ MEB (chứng minh trên)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {EBM} \cr & \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = \widehat {CBE} = {90^0} \cr} \)
Suy ra: \(\widehat {EBM} + \widehat {ABE} = {90^0}\) hay \(\widehat {ABM} = {90^0}\)
Vậy : Tứ giác ABMI là hình vuông.
Câu 153: Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.
a. Chứng minh rằng EC = BH, EC ⊥ BH.
b. Gọi M, N theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MIN là tam giác gì ? Vì sao ?
a. Ta có: \(\widehat {BAH} = \widehat {BAC} + \widehat {CAH} = \widehat {BAC} + {90^0}\)
\(\widehat {EAC} = \widehat {BAC} + \widehat {BAE} = \widehat {BAC} + {90^0}\)
Suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat {EAC}\)
– Xét ∆ BAH và ∆ EAC:
BA = EA (vì ABDE là hình vuông)
\(\widehat {BAH} = \widehat {EAC}\) (chứng minh trên)
AH = AC (vì ACFH là hình vuông)
Do đó: ∆ BAH = ∆ EAC (c.g.c)
⇒ BH = EC
Gọi giao điểm của EC với AB và BH lần lượt là K và O.
\(\widehat {AEC} = \widehat {ABH}\) (vì ∆ BAH = ∆ EAC) (1)
hay \(\widehat {AEK} = \widehat {OBK}\)
– Trong ∆ AEK ta có: \(\widehat {EAK} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {AEK} + \widehat {AKE} = {90^0}\) (2)
\(\widehat {AKE} = \widehat {OKB}\) (đối đỉnh) (3)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {OKB} + \widehat {OBK} = {90^0}\)
– Trong ∆ BOK ta có: \(\widehat {BOK} + \widehat {OKB} + \widehat {OBK} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {BOK} = {180^0} – \left( {\widehat {OKB} + \widehat {OBK}} \right) = {180^0} – {90^0} = {90^0}\)
Suy ra: EC ⊥ BH
b. Trong ∆ EBC ta có:
M là trung điểm của EB (tính chất hình vuông)
I là trung điểm của BC (gt)
nên MI là đường trung bình của tam giác EBC
⇒ MI = \({1 \over 2}\)EC và MI // EC (tính chất đường trung bình của tam giác)
– Trong ∆ BCH ta có:
I là trung điểm của BC (gt)
N là trung điểm của CH (tính chất hình vuông)
nên NI là đường trung bình của ∆ BCH
⇒ NI = \({1 \over 2}\)BH và NI // BH (tính chất đường trung bình của tam giác)
BH = CE (chứng minh trên)
Suy ra: MI = NI nên ∆ INM cân tại I
MI // EC (chứng minh trên)
EC ⊥ BH (chứng minh trên)
Suy ra: MI ⊥ BH
NI // BH (chứng minh trên)
Suy ra: MI ⊥ NI hay \(\widehat {MIN} = {90^0}\)
Vậy ∆ IMN vuông cân tại I.
