Câu 21: Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = {90^0}\)), AB = 21cm, AC = 28cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D và song song với AB, cắt AC tại E
a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b. Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD.
a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {21^2} + {28^2} = 1225\)
Suy ra: BC = 35 (cm)
Vì AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên:
\({{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác )
Suy ra: \({{BD} \over {BD + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
hay \({{BD} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
Suy ra: \(BD = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{35.21} \over {21 + 28}} = 15\) (cm)
Vậy DC = BC – BD = 35 – 15 = 20 (cm)
Trong tam giác ABC ta có: DE // AB
Suy ra: \({{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )
Suy ra: \(DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{20.21} \over {35}} = 12\) (cm)
b. Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.21.28 = 294(c{m^2})\)
Vì ∆ ABC và ∆ ADB có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:
\(\eqalign{ & {{{S_{ADB}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{BD} \over {BC}} = {{15} \over {35}} = {3 \over 7} \cr & \Rightarrow {S_{ABC}} = {3 \over 7}{S_{ABC}} = {3 \over 7}.294 = 126(c{m^2}) \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} – {S_{ABD}} = 294 – 126 = 168(c{m^2})\).
Câu 22: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm.
a. Tính AD, DC.
b. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC.
Vì BD là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên:
\({{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác )
Suy ra: \({{AD} \over {AD + DC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)
hay \({{AD} \over {AC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)
Mà ∆ ABC cân tại A nên AC = AB = 15 (cm)
Suy ra: \({{AD} \over {15}} = {{15} \over {15 + 10}} \Rightarrow AD = {{15.15} \over {25}} = 9\) (cm)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy DC = AC – AD = 15 – 9 = 6 (cm)
b. Vì BE ⊥ BD nên BE là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B
Suy ra: \({{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {BA}}\) (tính chất đường phân giác )
Suy ra: \({{EC} \over {EC + AC}} = {{BC} \over {BA}} \Rightarrow EC.BA = BC\left( {EC + AC} \right)\)
Suy ra:
\(\eqalign{ & EC.BA – EC.BC = BC.AC \cr & \Rightarrow EC\left( {BA – BC} \right) = BC.AC \cr} \)
Vậy \(EC = {{BC.AC} \over {BA – BC}} = {{10.15} \over {15 – 10}} = 30\) (cm).
Câu 23: Tam giác vuông ABC có\(\widehat A = 90^\circ \), AB = 12cm, AC = 16cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D.
a. Tính BC, BD và CD.
b. Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.
a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400\)
Suy ra: BC = 20 (cm)
Vì AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên:
\({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác )
Suy ra: \({{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
hay \({{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
Suy ra: \(DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}} = {{60} \over 7}\) (cm)
Vậy: DC = BC – DB = \(20 – {{60} \over 7} = {{80} \over 7}\) (cm)
b. Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC\)
Suy ra: AB.AC = AH.BC
\( \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6\) (cm)
Trong tam giác vuông AHB, ta có: \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)
Theo định lí Pi-ta-go, ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{ & H{B^2} = A{B^2} – A{H^2} = {12^2} – {\left( {9,6} \right)^2} = 51,84 \cr & \Rightarrow HB = 7,2(cm) \cr} \)
Vậy \(HD = BD – HB = {{60} \over 7} – 7,2 \approx 1,37\) (cm)
Trong tam giác vuông AHD, ta có: \(\widehat {AHD} = 90^\circ \)
Theo định lí Pi-ta-go, ta có:
\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} = {\left( {9,6} \right)^2} + {\left( {1,37} \right)^2} = 94,0369\)
Suy ra: AD ≈ 9,70 (cm)
