Câu 12.1: Hình vuông có chu vi bằng 8 thì đường chéo bằng:
A. 2
B. \(\sqrt {32} \)
C. \(\sqrt 8 \)
D. \(\sqrt 2 \)
Hãy chọn phương án đúng.
Chọn C. \(\sqrt 8 \) Đúng
Câu 12.2: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì ?
Ta có: \(\widehat {AOB}\)và \)\widehat {COD}\) đối đỉnh nên E, O, G thẳng hàng
\(\widehat {BOC}\)và \(\widehat {AOD}\) đối đỉnh nên F, O, H thẳng hàng
Xét ∆ BEO và ∆ BFO:
\(\widehat {EBO} = \widehat {FBO}\) (tính chất hình thoi)
OB cạnh chung
\(\widehat {EOB} = \widehat {FOB} = {45^0}\) (gt)
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó: ∆ BEO = ∆ BFO (g.c.g)
⇒ OE = OF (1)
Xét ∆ BEO và ∆ DGO:
\(\widehat {EBO} = \widehat {GDO}\) (so le trong)
OB = OD(tính chất hình thoi)
\(\widehat {EOB} = \widehat {GOD}\) (đối đỉnh)
Do đó: ∆ BEO = ∆ DGO (g.c.g)
⇒ OE = OG (2)
Xét ∆ AEO và ∆ AHO:
\(\widehat {EAO} = \widehat {HAO}\) (tính chất hình thoi)
Advertisements (Quảng cáo)
OA cạnh chung
\(\widehat {EOA} = \widehat {HOA} = {45^0}\) (gt)
Do đó: ∆ AEO = ∆ AHO (g.c.g)
⇒ OE = OH (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: OE = OF = OG = OH hay EG = FH
nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)
OE ⊥ OF (tính chất hai góc kề bù)
hay EG ⊥ FH
Vậy hình chữ nhật EFGH là hình vuông.
Câu 12.3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho DE = CF. Chứng minh rằng AE = DF và AE ⊥ DF.
Xét ∆ ADE và ∆ DCF:
AD = DC (gt)
\(\widehat A = \widehat D = {90^0}\)
DE = CF (gt)
Do đó: ∆ ADE = ∆ DCF (c.g.c)
⇒ AE = DF
\(\widehat {EAD} = \widehat {FDC}\)
\((\widehat {EAD} + \widehat {DEA} = {90^0}\) (vì ∆ ADE vuông tại A)
\( \Rightarrow \widehat {FDC} + \widehat {DEA} = {90^0}\)
Gọi I là giao điểm của AE và DF.
Suy ra: \(\widehat {IDE} + \widehat {DEI} = {90^0}\)
Trong ∆ DEI ta có: \(\widehat {DIE} = {180^0} – \left( {\widehat {IDE} + \widehat {DEI}} \right) = {180^0} – {90^0} = {90^0}\)
Suy ra: AE ⊥ DF
