Câu 5: Cho góc xOy bằng 60°, điểm M nằm trong góc đó và cùng cách Ox, Oy một khoảng bằng 2cm. Khi đó đoạn thẳng OM bằng
(A) 2cm; (B) 3cm;
(C) 4cm; (D) 5cm
Hãy chọn phương án đúng.
Do M cùng cách Ox, Oy những khoảng bằng nhau nên M nằm trên tia phân giác của góc xOy. Gọi A là chân đường vuông góc kẻ từ M đến Ox thì tam giác vuông AOM là “một nửa” tam giác đều.
Vậy OM = 2MA = 4cm. Chọn (C) 4cm.
Câu 5.2 : Cho điểm A nằm trong góc vuông xOy. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A đến Ox, Oy. Biết AM = AN = 3cm. Khi đó
(A) OM = ON > 3cm (B) OM = ON < 3cm
(C) OM = ON = 3cm (D) OM # ON
Dễ thấy OMAN là một hình vuông nên OM = ON = AM = 3cm.
Advertisements (Quảng cáo)
Cách khác: Do A nằm trên tia phân giá của góc xOy nên tam giác MAO vuông cân tại M, bởi vậy MO = MA = 3cm.
Tương tự NO = NA = 3cm. Chọn (C) OM = ON = 3cm.
Câu 5.3 : Cho góc đỉnh O khác góc bẹt
a) Từ một điểm M trên tia phân giác của góc O, kẻ các đường vuông góc MA, MB đến hai cạnh của góc này. Chứng minh rằng \(AB \bot OM\)
b) Trên hai cạnh của góc O lấy hai điểm C và D, sao cho OC = OD. Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai cạnh của góc O tại C và D cắt nhau ở E. Chứng minh rằng OE là tia phân giác của góc O.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Xét hai tam giác vuông AOM và BOM. Ta có cạnh huyền OM chung, MA = MB (vì M thuộc tia phân giác của góc O). Vậy ∆AOM = ∆BOM. Suy ra OA = OB. Từ đó có ∆AOH = ∆BOH (c.g.c). Suy ra \(\widehat {AHO} = \widehat {AHB} = 90^\circ \), tức là \(OM \bot AB\)
b) Để chứng minh OE là tia phân giác của góc O, ta cần chứng minh hai tam giác vuông COE và DOE bằng nhau. Hai tam giác này có cạnh huyền OE chung và OC = OD (giả thiết) nên chúng bằng nhau. Suy ra \(\widehat {EOC} = \widehat {EO{\rm{D}}}\) hay OE là tia phân giác của góc O.
Câu 5.4 : Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao cho AP = AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh rằng:
a) Tam giác OBC là tam giác cân.
b) Điểm O cách đều hai cạnh AB, AC.
c) AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.
a) Ta sẽ chứng minh tam giác OBC có hai góc OBC và OCB bằng nhau
Ta có ∆ABQ = ∆ACP (c.g.c) nên \(\widehat {ACP} = \widehat {ABQ}\). Mặt khác \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\) do tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {OCB} = \widehat {OBC}\). Suy ra \(\widehat {OAB} = \widehat {OAC}\) tam giác OBC cân tai O.
b) Hai tam giác AOB và AOC có cạnh AO chung, AB = AC (giả thiết), OB = OC (theo a). Vậy ∆AOB = ∆AOC (c.c.c). Suy ra hay AO là tia phân giác của góc BAC. Suy ra O cách đều hai cạnh AB, AC.
c) Gọi giao điểm AO với BC là H, hai tam giác AHB và AHC có cạnh AH chung, AB = AC và \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\) (theo b). Vậy ∆AHB = ∆AHC. Suy ra HB = HC và \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \), tức là \(AO \bot BC\) và AO đi qua trung điểm của BC.
Câu 5.5 t: Cho hai đường thẳng song song a, b và một cát tuyến c. Hai tia phân giác của một cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại I. Chứng minh rằng I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
Gọi A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến a, b, c. Xét hai góc trong cùng ơhía E và F. Do I thuộc tia phân giác của góc E nên IA = IC. (1)
Do I thuộc tia phân giác của góc F nên IC = IB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA = IB = IC, tức là I cách đều ba đường thẳng a, b, c
