Cho tam giác ABC cân tại A \(\left( {\widehat A < {{90}^o}} \right)\), các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại O.
a) Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc A.
b) Kẻ đường vuông góc với AB qua B, kẻ đường vuông góc với AC qua C, chúng cắt nhau tại K. Chứng tỏ ba điểm A, O, K thẳng hàng.
a) Gọi I là giao điểm của trung trực d1 và AB.
Tương tự H là giao điểm của d2 và AC.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(IA = IB = \dfrac{1 }{ 2}AB\) và \(HA = HB =\dfrac {1}{ 2}AC\) mà AB = AC (giả thiết)
\( \Rightarrow IA = IB = HA = HC.\)
Xét \(\Delta AIO\) và \(\Delta AHO\) có:
+) \(\widehat {AIO} = \widehat {AHO} = {90^o}\) (giả thiết)
Advertisements (Quảng cáo)
+) AO: cạnh chung;
+) AI = AH (chứng minh trên)
Vậy \(\Delta AIO = \Delta AHO\) (ch.cgv)
\( \Rightarrow \widehat {OAI} = \widehat {OAH}\) (góc tương ứng) hay AO là phân giác của góc A.
b) \(AB \bot KB\) (giả thiết), \(AC \bot KC\) (giả thiết).
Xét hai tam giác vuông AKB và ACK có:
+) AK cạnh chung,
+) \(AB = AC\) (giả thiết)
\( \Rightarrow \Delta ABK = \Delta ACK\) (ch.cgv)
\( \Rightarrow \widehat {KAB} = \widehat {KAC}\) hay AK là phân giác của góc A.
Hai điểm A và K cùng thuộc tia phân giác của góc A nên A, O, K thẳng hàng.
