Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ BD, CE lần lượt vuông góc với AC và AB. Gọi I là giao điểm cả BD và CE.
a) Chứng minh rằng \(\Delta AEI = \Delta ADI.\)
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.
a) Xét tam giác AEC và ADB có:
+) \(\widehat {AEC} = \widehat {ADB} = {90^o}\) (giả thiết)
+) AB = AC (giả thiết);
Advertisements (Quảng cáo)
+) \(\widehat A\) chung
Vậy \(\Delta AEC = \Delta ADB\) (g.c.g)
\( \Rightarrow AE = AD\) (cạnh tương ứng).
Xét \(\Delta AEI\) và \(\Delta ADI\) có:
+) \(\widehat {AEI} = \widehat {ADI} = {90^O}\) (giả thiết)
Advertisements (Quảng cáo)
+) \(AE = AD\) (chứng minh trên)
+) AI cạnh chung
Do đó \(\Delta AEI = \Delta ADI\) (ch.cgv).
b) M là trung điểm của BC (giả thiết) \( \Rightarrow MB = MC\)
Xét \(\Delta AMB \) và \( \Delta AMC\) có:
+) AM cạnh chung
+) \(AB = AC\) (giả thiết)
+) \(MB = MC\) (giả thiết)
Do đó \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (góc tương ứng) hay AM là phân giác của \(\widehat {BAC}\)
lại có \(\Delta AEI = \Delta ADI\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {EAI} = \widehat {DAI}\) hay AI là phân giác của \(\widehat {BAC}\)
Hai điểm M và I cùng thuộc tia phân giác của góc BAC nên A, I, M thẳng hàng.
