Câu 4.21: a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ khi \(z = \bar z\)
b) Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực: \(z = – {{3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}}\)
a) Hiển nhiên \(z \in R\) thì \(z = \bar z\) . Ngược lại, giả sử z = a + bi và \(z = \bar z\). Từ đó suy ra
a + bi = a – bi và do đó b = – b hay b = 0.
Vậy \(z \in R\)
b) Ta có \(z = {{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}}\),
suy ra \(\bar z = \overline {({{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}})} = \overline {({{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}})} + \overline {({{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}})} \)\( = \overline {{{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}}} + \overline {{{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}}} = {{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}} + {{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} = z\)
Vậy \(z \in R\).
Câu 4.22: Tìm nghịch đảo của số phức sau:
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(\sqrt 2 – i\sqrt 3 \)
b) i
c) \({{1 + i\sqrt 5 } \over {3 – 2i}}\)
d) \({(3 + i\sqrt 2 )^2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) \({1 \over {\sqrt 2 – i\sqrt 3 }} = {{\sqrt 2 + i\sqrt 3 } \over 5} = {{\sqrt 2 } \over 5} + {{\sqrt 3 } \over 5}i\)
b) \({1 \over i} = – i\)
c) \({{3 – 2i} \over {1 + i\sqrt 5 }} = {{(3 – 2i)(1 – i\sqrt 5 )} \over 6} = {{3 – 2\sqrt 5 } \over 6} – {{3\sqrt 5 + 2} \over 6}i\)
d) \({1 \over {{{(3 + i\sqrt 2 )}^2}}} = {{{{(3 – i\sqrt 2 )}^2}} \over {121}} = {7 \over {121}} – {{6\sqrt 2 } \over {121}}i\)
Câu 4.23: Giải phương trình sau trên tập số phức:
\((1 – i)z + (2 – i) = 4 – 5i\)
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
\(\eqalign{
& \left( {1 – i} \right)z + \left( {2 – i} \right) = 4 – 5i \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 – i} \right)z = 4 – 5i – 2 + i \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 – i} \right)z = 2 – 4i \cr
& \Leftrightarrow t = {{2 – 4i} \over {1 – i}} \cr
& = {{\left( {2 – 4i} \right)\left( {1 + i} \right)} \over {1 + 1}} = {{2 + 2i + 4i + 4} \over 2} = 3 – i \cr} \)
Câu 4.24: Tìm các số phức \(2z + \bar z\) và \({{25i} \over z}\) biết rằng z = 3 – 4i
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2012)
\(\eqalign{
& 2z + \bar z = 2\left( {3 – 4i} \right) + 3 + 4i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6 – 8i + 3 + 4i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9 – 4i \cr} \)
\(\eqalign{
& {{25i} \over z} = {{25i} \over {\left( {3 – 4i} \right)}} \cr
& = {{25i\left( {3 + 4i} \right)} \over {\left( {3 – 4i} \right)\left( {3 + 4i} \right)}} \cr
& = {{75i + 100{i^2}} \over {{3^2} – {{\left( {4i} \right)}^2}}} \cr
& = {{75i – 100} \over {25}} = 3i – 4 \cr} \)
