Bài 3.43: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’.
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ,\(\overrightarrow {CD} = a\overrightarrow i ;\overrightarrow {CB} = a\overrightarrow j ;\overrightarrow {CC’} = a\overrightarrow k \)
Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a,; 0;0), D’(a; 0; a)
\(\overrightarrow {CA’} = (a;a;a),\overrightarrow {{\rm{DD}}’} = (0;0;a)\)
Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\overrightarrow {CA’} \) và song song với \(\overrightarrow {DD’} \) . Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \overrightarrow {CA’} \wedge \overrightarrow {{\rm{DD}}’} = ({a^2}; – {a^2};0)\) hay x – y = 0
Phương trình tổng quát của \((\alpha )\) là x – y = 0.
Ta có: \(d(CA’,{\rm{DD}}’) = d(D,(\alpha )) = {{| – a|} \over {\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {a \over {\sqrt 2 }}\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’ là \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)
Bài 3.44: Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y +z – 1 = 0 và đường thẳng d: \({{x – 1} \over 2} = {y \over 1} = {{z + 2} \over { – 3}}\)
Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\) , hãy viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + 2t} \cr {y = t} \cr {z = – 2 – 3t} \cr} } \right.\)
Xét phương trình:
\(2(1 + 2t) + (t) + ( – 2 – 3t) – 1 = 0 \Leftrightarrow 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\)
Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha )\) tại điểm \(M(2;{1 \over 2}; – {7 \over 2})\).
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2;1;1)\) và \(\overrightarrow {{a_d}} = (2;1; – 3)\).
Gọi \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \) là vecto pháp tuyến của \(\Delta \), ta có \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \bot \overrightarrow {{a_d}} \).
Suy ra \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} \wedge \overrightarrow {{n_d}} = ( – 4;8;0)\) hay \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = (1; – 2;0)\)
Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 2 + t} \cr {y = {1 \over 2} – 2t} \cr {z = – {7 \over 2}} \cr} } \right.\)
Bài 3.45: Cho hai đường thẳng d1: \({{x – 1} \over 2} = {{y + 2} \over { – 3}} = {{z – 5} \over 4}\) và d2: \(\left\{ {\matrix{{x = 7 + 3t} \cr {y = 2 + 2t} \cr {z = 1 – 2t} \cr} } \right.\)
a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng nằm trong một mặt phẳng \((\alpha )\).
b) Viết phương trình của \((\alpha )\).
a) Ta có \(\overrightarrow {{a_{{d_1}}}} = (2; – 3;4)\) và \(\overrightarrow {{a_{{d_2}}}} = (3;2; – 2)\)
\(\overrightarrow n = \overrightarrow {{a_{{d_1}}}} \wedge \overrightarrow {{a_{{d_2}}}} = ( – 2;16;13)\)
Lấy điểm M1(1; -2; 5) trên d1 và điểm M2(7;2;1) trên d2.
Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = (6;4; – 4)\)
\(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = – 12 + 64 – 52 = 0\)
Suy ra d1 và d2 cùng nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\)
b) Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa M1 và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n \), vậy phương trình của \((\alpha )\) là:
\(– 2(x – 1) +16(y + 2) + 13(z – 5) = 0\) hay \(2x – 16y – 13z + 31 = 0\)
