Bài 21: Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau :
a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng \(2x + 3y + z – 17 = 0\);
b) M cách đều hai mặt phẳng \(x + y – z + 1 = 0\) và \(x – y + z + 5 = 0\)
Giải
a) Giả sử \(M\left( {0;0;c} \right)\) thuộc trục Oz.
Ta có \(MA = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( {4 – c} \right)}^2}} \) và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng đã cho là \(d = {{\left| {c – 17} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }}\)
\(MA = d \Leftrightarrow \sqrt {13 + {{\left( {4 – c} \right)}^2}} = {{\left| {c – 17} \right|} \over {\sqrt {14} }}\)
\(\Leftrightarrow 13 + {\left( {4 – c} \right)^2} = {{{{\left( {c – 17} \right)}^2}} \over {14}} \Leftrightarrow c = 3.\)
Vậy \(M\left( {0,0,3} \right)\).
b) \(M\left( {0;0;c} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\({{\left| { – c + 1} \right|} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {c + 5} \right|} \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow c = – 2 \Rightarrow M\left( {0;0; – 2} \right)\)
Bài 22: Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.
Advertisements (Quảng cáo)
b) \({\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
Giải
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0;b;0} \right)\,,\,C\left( {0;0;c} \right)\)
\(\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – a;b;0} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { – a;0;c} \right) \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2} > 0 \Rightarrow \cos A = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} > 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow \) A là góc nhọn.
Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn.
b) Mp(ABC) có phương trình \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{1 \over a};{1 \over b};{1 \over c}} \right)\).
Mp(OBC) \( \equiv \) Mp(Oyz) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa mp(ABC) và mp(OBC) thì:
\({\cos ^2}\alpha = {\left( {{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right)^2} = {{{1 \over {{a^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\)
Tương tự \({\cos ^2}\beta = {{{1 \over {{b^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\) và \({\cos ^2}\gamma = {{{1 \over {{c^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\)
Từ đó suy ra \({\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)
Bài 23: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng \(4x + 3y – 12z + 1 = 0\) và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0\)
Giải
Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16\).
Mặt cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) bán kính R = 4.
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng đã cho nên có phương trình \(4x + 3y – 12z + D = 0\) với \(D \ne 1\).
Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách d từ điểm I đến mp(P) bằng bán kính R.
\(d = {{\left| {4 + 6 – 36 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4 \)
\(\Leftrightarrow {{\left| { – 26 + D} \right|} \over {13}} = 4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
– 26 + D = 12 \hfill \cr
– 26 + D = – 12 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
D = 78 \hfill \cr
D = – 26 \hfill \cr} \right.\)
Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là: \(4x + 3y – 12z + 78 = 0\,\,;\,\,4x + 3y – 12z – 26 = 0\)
