Bài 14: Xác định các hệ số \(a,b, c\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực trị bằng \(0\) tại điểm \(x=-2\) và đồ thị của hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).
Giải
\(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\)
\(f\) đạt cực trị tại điểm \(x=-2\) nên \(f’\left( { – 2} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \)\(\,12 – 4a + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(f\left( { – 2} \right) = 0 \Rightarrow – 8 + 4a – 2b + c = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\) nên: \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 1 + a + b + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
4a – b = 12 \hfill \cr
4a – 2b + c = 8 \hfill \cr
a + b + c = – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = – 4 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(a=3, b=0, c=-4\).
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 15: Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), hàm số: \(y = {{{x^2} – m\left( {m + 1} \right)x + {m^3} + 1} \over {x – m}}\) luôn có cực đại và cực tiểu
Giải
TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ m \right\}\)
\(\eqalign{
& \;\;\;\;\;y’ = 0\cr& \Leftrightarrow {x^2} – 2mx + {m^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – m} \right)^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = m – 1;f\left( {m – 1} \right) = – {m^2} + m – 2 \hfill \cr
x = m + 1;f\left( {m + 1} \right) = – {m^2} + m + 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Với mọi giá trị của \(m\), hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=m-1\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x=m+1\)
