Bài 11: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1\);
b) \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} – {x^2} + 2x – 10\)
c) \(f\left( x \right) = x + {1 \over x}\);
d) \(f\left( x \right) = \left| x \right|\left( {x + 2} \right);\)
e) \(f\left( x \right) = {{{x^5}} \over 5} – {{{x^3}} \over 3} + 2\);
f) \(f\left( x \right) = {{{x^2} – 3x + 3} \over {x – 1}}\)
a) TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(f’\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;\,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
x = – 3 \hfill \cr} \right.;\)
\(f\left( { – 1} \right) = – {7 \over 3};\,f\left( { – 3} \right) = – 1\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = – 3\), giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { – 3} \right) = – 1\)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = – 1\), giá trị cực tiểu của hàm số là \(f\left( { – 1} \right) = – {7 \over 3}\)
b) TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(f’\left( x \right) = {x^2} – 2x + 2 > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) (vì \(a > 0,\Delta ‘ < 0\))
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) , không có cực trị.
c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(f’\left( x \right) = 1 – {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} \over {{x^2}}};f’\left( x \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,\,\,\,;f\left( 1 \right) = 2 \hfill \cr
x = – 1;f\left( { – 1} \right) = – 2 \hfill \cr} \right.\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { – 1} \right) = – 2\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = 2\).
d) TXĐ: \(D=\mathbb R\) Hàm số liên tục trên \(\mathbb R\)
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr
– x\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,x < 0\, \hfill \cr} \right.\)
Với \(x > 0:\,f’\left( x \right) = 2x + 2 > 0\) với mọi \(x>0\)
Với \(x < 0:\,f’\left( x \right) = – 2x – 2\)
\(\,f’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = – 1\); \(f\left( { – 1} \right) = 1\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { – 1} \right) = 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), giá trị cực tiểu \(f\left( 0 \right) = 0\)
e) TXĐ: \(D=\mathbb R\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(f’\left( x \right) = {x^4} – {x^2} = {x^2}\left( {{x^2} – 1} \right)\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr
x = – 1;f\left( { – 1} \right) = {{32} \over {15}} \hfill \cr
x = 1;f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}} \hfill \cr} \right.\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), giá trị cực đại \(f\left( { – 1} \right) = {{32} \over {15}}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị cực tiểu \(f\left( 1 \right) = {{28} \over {15}}\)
f) TXĐ: \(D = {\bf{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(y’\left( x \right) = {{\left( {2x – 3} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} – 3x + 3} \right)} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} – 2x} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;f\left( 0 \right) = – 3 \hfill \cr
x = 2;f\left( 2 \right) = 1 \hfill \cr} \right.\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = – 3\)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\), giá trị cực tiểu \(f\left( 2 \right) = 1\)
Bài 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = x\sqrt {4 – {x^2}} \) b) \(y = \sqrt {8 – {x^2}} \)
c) \(y = x – \sin 2x + 2\) d) \(y = 3 – 2\cos x – \cos 2x\)
a) Tập xác định: \(D = \left[ { – 2;2} \right]\)
\(y’ = \sqrt {4 – {x^2}} + x.{{ – x} \over {\sqrt {4 – {x^2}} }} = {{4 – {x^2} – {x^2}} \over {\sqrt {4 – {x^2}} }} = {{4 – 2{x^2}} \over {\sqrt {4 – {x^2}} }}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow 4 – 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)
\(y\left( { – \sqrt 2 } \right) = – 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)
Advertisements (Quảng cáo)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = – \sqrt 2 \); giá trị cực tiểu \(y\left( { – \sqrt 2 } \right) = – 2\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \sqrt 2 \); giá trị cực đại \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)
b) TXĐ: \(D = \left[ { – 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\)
\(y’ = {{ – x} \over {\sqrt {8 – {x^2}} }};\,y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)
c) Áp dụng quy tắc 2.
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\,y’ = 1 – 2\cos 2x;\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \)
\(\Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}\)
\(y” = 4\sin 2x\)
* Ta có: \(y”\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { – {\pi \over 3}} \right) = – 2\sqrt 3 < 0\)
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = – {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại
\(y\left( { – {\pi \over 6} + k\pi } \right) = – {\pi \over 6} + k\pi + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)
\(y”\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {{\pi \over 3}} \right) = 2\sqrt 3 > 0\).
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực tiểu:
\(y\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = {\pi \over 6} + k\pi – {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)
d) Áp dụng quy tắc 2.
\(\,y’ = 2\sin x + 2\sin 2x = 2\sin x\left( {1 + 2\cos x} \right);\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\cos x = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi \hfill \cr} \right.\)
\(y” = 2\cos x + 4\cos 2x.\)
\(y”\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi + 4\cos 2k\pi \)
\(= 2\cos k\pi + 4 > 0\) với mọi \(k \in {\mathbb{Z}}\)
Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), giá trị cực tiểu:
\(y\left( {k\pi } \right) = 3 – 2\cos k\pi – \cos 2k\pi = 2 – 2\cos k\pi \)
\(y”\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3} + 4\cos {{4\pi } \over 3} \)
\(= 6\cos {{2\pi } \over 3} = – 3 < 0.\)
Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \(x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại:
\(y\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 3 – 2\cos {{2\pi } \over 3} – \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}\).
Bài 13: Tìm các hệ số \(a, b, c, d\) của hàm số: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0,f\left( 0 \right) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = 1.\)
Ta có: \(f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)
\(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\) nên \(f’\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\)
\(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0\). Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\)
\(f\) đạt cực đại tại điểm \(x=1\) nên \(f’\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0\)
\(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow a + b = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
3a + 2b = 0 \hfill \cr
a + b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = – 2 \hfill \cr
b = 3 \hfill \cr} \right.\)
Thử lại với \(a=-2, b=3, c=d=0\) ta được:
\(f\left( x \right) = – 2{x^3} + 3{x^2};\,\,\,\,\,\,\,f’\left( x \right) = – 6{x^2} + 6x;\)
\(f”\left( x \right) = – 12x + 6\)
\(f”\left( 0 \right) = 6 > 0\) : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\); \(f\left( 0 \right) = 0;f”\left( 1 \right) = – 6 < 0\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1;f\left( 1 \right) = 1\)
Vậy \(a = – 2;b = 3;c = d = 0\).
