Bài 8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0,\sin x > x\) với mọi \(x < 0\)
b) \(\cos x > 1 – {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\)
c) \(\sin x > x – {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x > 0\); \(\sin x < x – {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x<0\).
Giải
a) Hàm số \(f\left( x \right) = x – \sin x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f’\left( x \right) = 1 – \cos x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\), từ đó với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) ta có:
\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow x – \sin x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Với \(x \ge {\pi \over 2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\).
Vậy \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0\)
* Với mọi \(x<0\), áp dụng chứng minh trên ta có:
\(\sin \left( { – x} \right) < – x \Rightarrow – \sin x < – x \Rightarrow \sin x > x\)
Vậy \(\sin x > x\) với mọi \(x<0\).
b) Hàm số \(g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 – 1}}\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm \(g’\left( x \right) = x – \sin x\)
Theo câu a) \(g’\left( x \right) > 0\) với mọi \(x>0\) nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có
\(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x>0\), tức là \(\cos x + {{{x^2}} \over 2} – 1 > 0\) với mọi \(x>0\)
hay \(\cos x > 1 – {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x>0\) (1)
Với mọi x0 nên theo (1) ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\cos \left( { – x} \right) > 1 – {{{{\left( { – x} \right)}^2}} \over 2}\, \Leftrightarrow \cos x > 1 – \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\cos x > 1 – \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\).
c) Hàm số \(h\left( x \right) = \sin x – x + {{{x^3}} \over 6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x – 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0\) với mọi \(x \ne 0\) (câu b)
Do đó \(h\) đồng biến trên \(\mathbb R\) nên ta có:
\(h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0\) và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\)
Từ đó suy ra: \(\sin x > x – {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x>0\)
\(\sin x < x – {{{x^3}} \over 6}\)với mọi \(x<0\)
Bài 9: Chứng minh rằng: \(\sin x + \tan x > 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\).
Giải
Chứng minh hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \tan x – 2x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
Hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \tan x – 2x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm: \(f’\left( x \right) = \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, – 2\)
Vì \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) nên \(0 < \cos x < 1 \Rightarrow \cos x > {\cos ^2}x\)
\( \Rightarrow \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, – 2 > {\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, – 2 > 0\)
( vì \({\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} > 2\) với mọi \(\,x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\))
Do đó \(f’\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Suy ra hàm số \(f\) đồng biến trên \(\,\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Khi đó ta có \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) tức là \(\sin x + \tan x > 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\).
Bài 10: Số dân của một thị trấn sau \(t\) năm kể từ năm \(1970\) được ước tính bởi công thức: \(f\left( t \right) = {{26t + 10} \over {t + 5}},f\left( t \right)\) được tính bằng nghìn người).
a) Tính số dân của thị trấn vào năm \(1980\) và năm \(1995\).
b) Xem \(f\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\,\). Tính \(f’\) và xét chiều biến thiên của hàm số \(f\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\,\)
c) Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn ( tính bằng nghìn người/năm).
• Tính tốc độ tăng dân số vào năm \(1990\) và năm \(2008\) của thị trấn.
• Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là \(0,125\) nghìn người/năm?
Giải
a) Vào năm \(1980\) thì \(t = 10\), số dân của thị trấn năm \(1980\) là:
\(f\left( {10} \right) = {{260 + 10} \over {10 + 5}} = 18\) nghìn người
Vào năm \(1995\) thì \(t=25\) , số dân của thị trấn năm \(1995\) là:
\(f\left( {25} \right) = {{26.25 + 10} \over {25 + 5}} = 22\) nghìn người.
b) Ta có: \(f’\left( t \right) = {{120} \over {{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t>0\)
Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
c) Tốc độ tăng dân số vào năm \(1990\) là \(f’\left( {20} \right) = {{120} \over {{{25}^2}}} = 0,192\)
Tốc độ tăng dân số vào năm \(2008\) là \(f’\left( {38} \right) = {{120} \over {{{43}^2}}} \approx 0,065\)
\({{120} \over {{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,125 \Leftrightarrow t + 5 = \sqrt {{{120} \over {0,125}}} \approx 31 \Rightarrow t \approx 26\)
Vào năm \(1996\) tốc độ tăng dân số của thị trấn là \(0,125\).
