Bài 4.7: Cho dãy số
\(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \matrix{
{u_1} = 0 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
a) Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = {{{u_n} – 1} \over {{u_n} + 3}}\). Chứng minh dãy số là cấp số nhân.
b) Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.
Từ giả thiết có
\({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3) (1)
Lập tỉ số \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{{u_{n + 1}} – 1} \over {{u_{n + 1}} + 3}}.{{{u_n} + 3} \over {{u_n} – 1}} = {{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} – {u_n} – 3} \over {{u_{n + 1}}{u_n} – {u_{n + 1}} + 3{u_n} – 3}}\) (2)
Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 – 4{u_{n + 1}}\) thay vào (2) ta được
Advertisements (Quảng cáo)
\({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{2{u_n} + 3 – 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} – {u_n} – 3} \over {2{u_n} + 3 – 4{u_{n + 1}} – {u_{n + 1}} + 3{u_n} – 3}} = {{{u_n} – {u_{n + 1}}} \over {5\left( {{u_n} – {u_{n + 1}}} \right)}} = {1 \over 5}\)
Vậy \({x_{n + 1}} = {1 \over 5}{x_n}\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = {1 \over 5}\) và \({x_1} = – {1 \over 3}\)
Ta có \({x_n} = – {1 \over 3}{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n – 1}}\)
Từ đó tìm được \({u_n} = {{3{x_n} – 1} \over {1 – {x_n}}} = {{ – {{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n – 1}} – 1} \over {1 + {1 \over 3}{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n – 1}}}} = {{{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n – 1}} + 1} \over {{1 \over 3}{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n – 1}} + 1}}\)
Bài 4.8: Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc coi là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng. Tìm các số đó.
Advertisements (Quảng cáo)
HD: làm tương tự ví dụ 7/12 Bài 4.
ĐS: Ba số phải tìm là 2, 14, 98
Bài 4.9: Cho cấp số nhân,a, b, c, d. Chứng minh rằng
a) \({a^2}{b^2}{c^2}\left( {{1 \over {{a^3}}} + {1 \over {{b^3}}} + {1 \over {{c^3}}}} \right) = {a^3} + {b^3} + {c^3}\) ;
b) \({\left( {ab + bc + cd} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\)
a) Biến đổi vế trái
\(\eqalign{
& {a^2}{b^2}{c^2}\left( {{1 \over {{a^3}}} + {1 \over {{b^3}}} + {1 \over {{c^3}}}} \right) \cr
& = {{{b^2}{c^2}} \over a} + {{{a^2}{c^2}} \over b} + {{{a^2}{b^2}} \over c} \cr
& {\rm{ = }}{{ac{c^2}} \over a} + {{{{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \over b} + {{{a^2}ac} \over c} \cr
& {\rm{ = }}{a^3} + {b^3} + {c^3} \cr} \)
b) HD: Áp dụng bấtđẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho các số a, b, c và b, c, d.
Bài 4.10: Giải phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) biết a, b, c, d là một cấp số nhân với công bội q.
HD: Thay các hệ số a, b, c, d lần lượt bằng \(a,aq,a{q^2},a{q^3}\) vào phương trình và biến đổi
