Trang Chủ Sách bài tập lớp 11 SBT Toán 11

Bài 9, 10, 11 trang 128 SBT Đại số và giải tích 11: Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không ?

Bài ôn tập chương III Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân SBT Toán lớp 11. Giải bài 9, 10, 11 trang 128. Câu 9: Cho cấp số nhân…; Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không ?

Bài 9: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi \({S_c}\) là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và \({S_l}\) là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng : \(q = {{{S_c}} \over {{S_l}}}\)

Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là \({u_1}\) và công bội là q.

Ta có

\(\eqalign{
& {S_1} = {u_1} + {u_1}{q^2} + {u_1}{q^4} + …\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr
& {S_c} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + {u_1}{q^5} + …\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Nhân hai vế của (1) với q ta có

\(q{S_1} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + {u_1}{q^5} + … = {S_c}\)

Vậy \(q = {{{S_c}} \over {{S_1}}}\)

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 10: Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không ?

Gọi số đo ba cạnh của tam giác vuông là x – d, x, x + d

Theo giả thiết ta có \({\left( {x + d} \right)^2} = {\left( {x – d} \right)^2} + {x^2}\)    (1)

Advertisements (Quảng cáo)

Từ (1) tìm được x = 0, x = 4d

Như vậy có thể có tam giác vuông thoả mãn đầu bài, các cạnh của nó là 3d, 4d, 5d. Đặc biệt, nếu d = 1 thì tam giác vuông có các cạnh là 3, 4, 5 (tam giác Ai Cập).

Bài 11: Tính tổng :

a) \({1 \over 2} + {3 \over {{2^2}}} + {5 \over {{2^3}}} + … + {{2n – 1} \over {{2^n}}}\) ;

b) \({1^2} – {2^2} + {3^2} – {4^2} + … + {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}.{n^2}\)

a)      HD: Đặt tổng là \({S_n}\) và tính \(2{S_n}\)

ĐS : \({S_n} = 3 – {{2n + 3} \over {{2^n}}}\)

b)      HD : \({n^2} – {\left( {n + 1} \right)^2} =  – 2n – 1\) Ta có \({1^2} – {2^2} =  – 3{\rm{ }};{\rm{ }}{3^2} – {4^2} =  – 7{\rm{ }};…\)

Ta có \({u_1} =  – 3,d =  – 4\) và tính \({S_n}\) trong từng trường hợp n chẵn, lẻ.

Advertisements (Quảng cáo)