Bài 1: Chứng minh rằng
a) \({n^5} – n\) chia hết cho 5 với mọi \(n \in N*\) ;
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9;
c) \({n^3} – n\) chia hết cho 6 với mọi \(n \in N*\) ;
a) HD: Xem ví dụ 1, .
b) HD: Đặt \({A_n} = {n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3}\) dễ thấy \({A_1} \vdots 9\)
Giả sử đã có \({A_1} \vdots 9\) với \(k \ge 1\). Ta phải chứng minh \({A_{k + 1}} \vdots 9\)
Tính \({A_{k + 1}} = {A_k} + 9{k^2} + 27k + 27\)
c) Làm tương tự như 1.a).
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N*
a) \({A_n} = {1 \over {1.2.3}} + {1 \over {2.3.4}} + … + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = {{n\left( {n + 3} \right)} \over {4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) ;
b) \({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + … + {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 6}\) ;
c) \({S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + … + \sin nx = {{\sin {{nx} \over 2}.\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)
a) HD: Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn
\({A_{k + 1}} = {A_k} + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) HD: Kiểm tra với n = 1
Giả sử đã cho \({B_k} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\)
Ta cần chứng minh
\({B_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)} \over 2}\) bằng cách tính \({B_{k + 1}} = {B_k} + {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\)
c) HD: Kiểm tra với n = 1
Giả sử đã có \({S_k} = {{\sin {{kx} \over 2}.\sin {{\left( {k + 1} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\)
Viết \({S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left( {k + 1} \right)x\) sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có
\({S_{k + 1}} = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}.\sin {{\left( {k + 2} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\left( {đpcm} \right)\)
Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) \({3^{n – 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\) ;
Advertisements (Quảng cáo)
b) \({2^{n – 3}} > 3n – 1\) với \(n \ge 8\)
a) Với n = 4 thì \({3^{4 – 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24\)
Giả sử đã có
\({3^{k – 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4\) (1)
Nhân hai vế của (1) với 3, ta có
\(\eqalign{
& {3.3^{k – 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) – 1}} > 3k\left( {k + 2} \right) \cr
& {\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right] + 2{k^2} + 2k – 3 \cr} \)
Do \(2{k^2} + 2k – 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) – 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1
b) Giải tương tự câu a).
Bài 4: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) \) :
\({\rm{ }}\left\{ \matrix{
{u_1} = 1,{u_2} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = 2{u_n} – {u_{n – 1}} + 1{\rm\,\,{ với\,\, n}} \ge {\rm{2}} \hfill \cr} \right.\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;
b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) với \({v_n} = {u_{n + 1}} – {u_n}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng ;
c) Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right) \) theo n.
a) Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11
b) Từ công thức xác định dãy số ta có
\({u_{n + 1}} = 2{u_n} – {u_{n – 1}} + 1\) hay \({u_{n + 1}} – {u_n} = {u_n} – {u_{n – 1}} + 1\) (1)
Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} – {u_n}\) nên từ (1), ta có
\({v_n} = {v_{n – 1}} + 1\) với \(n \ge 2\) (2)
Vậy \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} – {u_1} = 1\) công sai d = 1
c) Để tính \(\left( {{u_n}} \right) \) ta viết
\(\eqalign{
& {v_1} = 1 \cr
& {v_2} = {u_3} – {u_2} \cr
& {v_3} = {u_4} – {u_3} \cr
& … \cr
& {v_{n – 2}} = {u_{n – 1}} – {u_{n – 2}} \cr
& {v_{n – 1}} = {u_n} – {u_{n – 1}} \cr}\)
Cộng từng vế n – 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được
\({v_1} + {v_2} + … + {v_{n – 1}} = 1 – {u_2} + {u_n} = 1 – 2 + {u_n} = {u_{n – 1}}\) suy ra
\({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + … + {v_{n – 1}} = 1 + {{n\left( {n – 1} \right)} \over 2}\)
