Bài 12: Tính tổng :
a) \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + … + n{a^{n – 1}}\)
b) \({S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + … + n{x^n}\)
a) HD: Với a = 1 ta có \({S_n} = 1 + 2 + 3 + … + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\)
Giả sử a ≠ 1. Nhân hai vế của hệ thức \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + … + n{a^{n – 1}}\) với a và tính hiệu
Advertisements (Quảng cáo)
\({S_n} – a{S_n} = \left( {1 – a} \right){S_n}\)
Từ đó, ta tính được \({S_n} = {{n{a^{n + 1}} – \left( {n + 1} \right){a^n} + 1} \over {{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Làm tương tự như câu a).
Bài 13: Tìm m để phương trình \({x^4} – \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.
Đặt \({x^4} = y\) ta có phương trình
\({y^2} – \left( {3m + 5} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) (1)
Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương \({y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)\) Bốn nghiệm đó là \( – \sqrt {{y_2}} , – \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} \).
Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \(\sqrt {{y_2}} – \sqrt {{y_1}} = 2\sqrt {{y_1}} \) hay \({y_2} = 9{y_1}\) kết hợp vớiđịnh lí Vi-ét tìm được m = 5 và \(m = – {{25} \over {19}}\)
