Câu 29. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.
a. Dãy số \(1, -2, 4, -8, 16, -32, 64\)
b. Dãy số (un) với \({u_n} = n{.6^{n + 1}}\)
c. Dãy số (vn) với \({v_n} = {\left( { – 1} \right)^n}{.3^{2n}}\)
d. Dãy số (xn) với \({x_n} = {\left( { – 4} \right)^{2n + 1}}\) .
a. Dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội \(q = -2\).
b.\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{6\left( {n + 1} \right)} \over n}\) với mọi \(n ≥ 1\). Suy ra (un) không phải là cấp số nhân.
c.\({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}{{.3}^{2\left( {n + 1} \right)}}} \over {{{\left( { – 1} \right)}^n}{{.3}^{2n}}}} = – 9\) với mọi \(n ≥ 1\). Suy ra (vn) là một cấp số nhân với công bội \(q = -9\).
d. \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{{{\left( { – 4} \right)}^{2n + 3}}} \over {{{\left( { – 4} \right)}^{2n + 1}}}} = 16\) với mọi \(n ≥ 1\). Suy ra (xn) là một cấp số nhân với công bội \(q = 16\).
Câu 30. Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :
a. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội \(0 < q < 1\), là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm
b. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội \(q > 1\) là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm
a. Giảm
b. Tăng
Câu 31. Cho cấp số nhân (un) có công bội \(q < 0\). Biết \({u_2} = 4\) và \({u_4} = 9\), hãy tìm \(u_1\).
Ta có:
\(\left\{ {\matrix{{{u_2} = 4} \cr {{u_4} = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{u_1}q = 4\left( 1 \right)} \cr {{u_1}{q^3} = 9\left( 2 \right)} \cr} } \right.\)
Lấy (2) chia (1) ta được : \({q^2} = {9 \over 4} \Rightarrow q = – {3 \over 2}\) (vì \(q < 0\))
Từ (1) suy ra \({u_1} = {4 \over q} = – {8 \over 3}\)
Câu 32. Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \({1 \over {16}}\) . Hãy tìm cấp số nhân đó.
Với mỗi \(n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}\), kí hiệu un là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho.
Vì \({u_1} > 0,{u_2} > 0\) nên cấp số nhân (un) có công bội \(q > 0\), và do đó \({u_n} > 0{\rm{ }}\;\forall {\rm{ }}n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}\). Từ đó :
\(\eqalign{
& 1 = {u_1}.{u_3} = u_2^2 \Rightarrow {u_2} = 1, \cr
& {1 \over {16}} = {u_3}.{u_5} = u_4^2 \Rightarrow {u_4} = {1 \over 4} \cr
& u_3^2 = {u_2}.{u_4} = {1 \over 4} \Rightarrow {u_3} = {1 \over 2} \cr} \)
Do đó \({u_1} = {1 \over {{u_3}}} = 2\,\text{ và }\,{u_5} = {1 \over {16}}:{u_3} = {1 \over 8}\)
Vậy cấp số nhân cần tìm là : \(2,1,{1 \over 2},{1 \over 4},{1 \over 8}\)
Câu 33. Cho cấp số nhân (un) với công bội \(q ≠ 0\) và \({u_1} \ne 0\). Cho các số nguyên dương m và k, với \(m ≥ k\). Chứng minh rằng \({u_m} = {u_k}.{q^{m – k}}\)
Áp dụng
a. Tìm công bội q của cấp số nhân (un) có \({u_4} = 2\) và \({u_7} = – 686\).
b. Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (un) mà \({u_2} = 5\) và \({u_{22}} = – 2000\) ?
Ta có:
\(\eqalign{
& {u_m} = {u_1}.{q^{m – 1}}\,\,\left( 1 \right) \cr
& {u_k} = {u_1}.{q^{k – 1}}\,\,\left( 2 \right) \cr} \)
Lấy (1) chia (2) ta được :
\({{{u_m}} \over {{u_k}}} = {q^{m – k}} \Rightarrow {u_m} = {u_k}.{q^{m – k}}\)
Áp dụng :
Advertisements (Quảng cáo)
a. Ta có:
\({{{u_7}} \over {{u_4}}} = {q^{7 – 4}} \Rightarrow {q^3} = – 343 \Rightarrow q = – 7\)
b. Không tồn tại
\({q^{20}} = {{{u_{22}}} \over {{u_2}}} = {{ – 2000} \over 5} < 0,\) vô lí.
Câu 34. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) , biết rằng \({u_3} = – 5\) và \({u_6} = 135\).
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho.Ta có:
\(\eqalign{
& {q^3} = {{{u_6}} \over {{u_3}}} = {{135} \over { – 5}} = – 27 \Leftrightarrow q = – 3 \cr
& – 5 = {u_3} = {u_1}.{q^2} = 9{u_1} \Leftrightarrow {u_1} = – {5 \over 9} \cr} \)
Số hạng tổng quát : \({u_n} = – {5 \over 9}.{\left( { – 3} \right)^{n – 1}} = – 5.{\left( { – 3} \right)^{n – 3}}\)
Câu 35. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).
Kí hiệu un (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.
Ta có 7314 ngày gồm \((53 = 7314 : 138)\) chu kì bán rã.
Như thế, theo đề bài, ta cần tính u53.
Từ giả thiết của bài toán suy ra dãy số (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = {\rm{ }}20{\rm{ }}:{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10\) và công bội \(q = {1 \over 2}\) . Do đó :
\({u_{53}} = 10.{\left( {{1 \over 2}} \right)^{52}} \approx 2,{22.10^{ – 15}}\) (gam)
Câu 36. Tính các tổng sau :
a. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39 366;
b. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng \({1 \over {256}}\) , số hạng thứ hai bằng \({{ – 1} \over {512}}\) và số hạng cuối bằng \({1 \over {1048576}}\)
a. Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.
Ta có: \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {{54} \over {18}} = 3\)
Giả sử cấp số nhân có n số hạng ta có :
\(\eqalign{
& 39366 = {u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} = {18.3^{n – 1}} \cr
& \Rightarrow {3^{n – 1}} = {{39366} \over {18}} = 2187 = {3^7} \Rightarrow n = 8 \cr
& \Rightarrow {S_8} = {u_1}.{{1 – {q^8}} \over {1 – q}} = 18.{{1 – {3^8}} \over {1 – 3}} = 59040 \cr} \)
b. Tương tự :
\(\eqalign{
& q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = – {1 \over 2} \cr
& {u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} \Rightarrow {1 \over {1048576}} = {1 \over {256}}.{\left( { – {1 \over 2}} \right)^{n – 1}} \cr
& \Rightarrow n = 13 \Rightarrow {S_{13}} = {1 \over {256}}.{{1 – {{\left( {{{ – 1} \over 2}} \right)}^{13}}} \over {1 – \left( { – {1 \over 2}} \right)}} = {{2731} \over {{2^{10}}}} = {{2731} \over {1048576}} \cr} \)
Câu 37. Bốn góc lượng giác có số đo dương lâp thành một cấp số nhân có tổng là \(360^0\). Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
Kí hiệu A, B, C, D là số đo bốn góc (tính theo đơn vị độ) của tứ giác lồi đã cho. Không mất tổng quát, giả sử \(A ≤ B ≤ C ≤ D\). Khi đó, từ giả thiết của bài toán ta có \(D = 8A\), và A, B, C, D theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi q là công bội của cấp số nhân đó, ta có :
\(8A = D = A.q^3⇔ q = 2\).
Do đó \(360 = A + B + C + D = A.{{1 – {2^4}} \over {1 – 2}} = 15A \Leftrightarrow A = 24^0\)
Suy ra \(B = A.2 = 48^0\), \(C = A.2^2= 96^0\) và \(D = A.2^3= 192\)
Câu 38. Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :
a. Nếu các số thực a, b, c mà \(abc ≠ 0\), theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 thì các số \({1 \over a},{1 \over b},{1 \over c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
b. Nếu các số thực a, b, c mà \(abc ≠ 0\), theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \({1 \over a},{1 \over b},{1 \over c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.
c. \(1 + \pi + {\pi ^2} + … + {\pi ^{100}} = {{{\pi ^{100}} – 1} \over {\pi – 1}}\)
a. Sai vì \(1, 2, 3\) là cấp số cộng nhưng \(1,{1 \over 2},{1 \over 3}\) không là cấp số cộng.
b. Đúng vì nếu \(a, b, c\) là cấp số nhân công bội \(q ≠ 0\) thì \({1 \over a},{1 \over b},{1 \over c}\) là cấp số nhân công bội \({1 \over q}.\)
c. Sai vì \(1 + \pi + {\pi ^2} + … + {\pi ^{100}} = {{{\pi ^{101}} – 1} \over {\pi – 1}}\)
Câu 39. Các số \(x + 6y, 5x + 2y, 8x + y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ; đồng thời, các số \(x – 1, y + 2, x – 3y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Vì các số \(x + 6y, 5x + 2y, 8x + y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên :
\(2\left( {5x + 2y} \right) = \left( {x + 6y} \right) + \left( {8x + y} \right) \Leftrightarrow x = 3y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì các số \(x – 1, y + 2, x – 3y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên :
\({\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x – 1} \right)\left( {x – 3y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thế (1) vào (2), ta được \({\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = – 2.\) Từ đó \(x = -6\)
Câu 40. Cho cấp số cộng (un) với công sai khác 0. Biết rằng các số u1u2, u2u3 và u3u1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.
Vì cấp số cộng (un) có công sai khác 0 nên các số u1, u2, u3 đôi một khác nhau \(\Rightarrow {\rm{ }}{u_1}.{u_2} \ne {\rm{ }}0\) và \(q\ne1\).
Ta có: \({u_2}{u_3} = {\rm{ }}{u_1}{u_2}.q\) và \({u_3}{u_1} = {\rm{ }}{u_1}{u_2}.{q^2}\).
Từ đó suy ra \({u_3} = {u_1}q = {u_2}{q^2}\,\left( {\text{vì}\,{u_1}{u_2} \ne 0} \right).\) Do đó \({u_1} = {\rm{ }}{u_2}q\) (vì \(q \ne0\) theo giả thiết)
Vì \({u_1},{u_2},{u_3}\) là một cấp số cộng nên \({u_1} + {\rm{ }}{u_3} = {\rm{ }}2{u_2}\), suy ra :
\({u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2} \Leftrightarrow {q^2} + q – 2 = 0\,\left( \text{vì }{{u_2} \ne 0} \right) \Leftrightarrow q = – 2\,\left( {\text{vì}\,q \ne 1} \right)\)
Câu 41. Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.
Kí hiệu (un) là cấp số cộng đã cho và gọi q là công bội của cấp số nhân u2, u1, u3. Theo đề bài, ta cần tính q.
Vì cấp số cộng (un) có công sai khác 0 nên các số u1, u2, u3 đôi một khác nhau, suy ra q ∉ {0, 1} và u2 ≠ 0.
Từ các giả thiết của đề bài ta có u1 = u2q, u3 = u2q2 và u1 + u3 = 2u2, suy ra
\({u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2} \Leftrightarrow {q^2} + q – 2 = 0\,\left( {\text{vì }\,{u_2} \ne 0} \right) \Leftrightarrow q = – 2\,\left( {\text{vì }\,q \ne 1} \right)\)
Câu 42. Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \({{148} \over 9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.
Kí hiệu u1, u2, u3 lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân nói trong đề bài; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.
Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u1, u2 và u3 tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.
Ta có: u1 ≠ 0, vì nếu ngược lại thì u2 = u3= 0, và do đó \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 0 \ne {{148} \over 9}.\)
Từ các giả thiết của đề bài ta có : \({u_2} = {u_1}q = {u_1} + 3d\,\text{ và }\,{u_3} = {u_2}q = {u_2} + 4d\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& {u_1}\left( {q – 1} \right) = 3d\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr
& {u_2}\left( {q – 1} \right) = 4d\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)
Xét hai trường hợp sau :
* Trường hợp 1 : q ≠ 1. Khi đó (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u1≠ 0) và \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {4 \over 3}\)
Từ đó :
\(\eqalign{
& {{148} \over 9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.{{1 – {q^3}} \over {1 – q}} \cr
& = {u_1}.{{1 – {{\left( {{4 \over 3}} \right)}^3}} \over {1 – {4 \over 3}}} = {u_1}.{{37} \over 9} \Rightarrow {u_1} = 4 \cr
& \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = {{16} \over 3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = {{64} \over 9} \cr} \)
Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai
\(d = {4 \over 9}.\)
* Trường hợp 2 : q = 1. Khi đó \({u_1} = {u_2} = {u_3}\) . Vì thế \({{148} \over 9} = 3{u_1}.\)
Suy ra: \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}\)
Hiển nhiên ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0. Vậy có hai bộ ba số cần tìm là :
\({u_1} = 4,{u_2} = {{16} \over 3},{u_3} = {{64} \over 9}\,\text{ và }\,{u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}.\)
Câu 43. Cho dãy số (un) xác định bởi
U1 = 1 và un + 1 = 5un + 8 với mọi n ≥ 1.
a. Chứng minh rằng dãy số (vn), với vn = un + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
b. Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
a. Từ hệ thức xác định dãy số (un), suy ra với mọi n ≥ 1, ta có :
\({u_{n + 1}} + 2 = 5\left( {{u_n} + 2} \right)\,hay \,\,{v_{n + 1}} = 5{u_n}\)
Do đó (vn) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}3\) và công bội q = 5.
Số hạng tổng quát : \({v_n} = {\rm{ }}{3.5^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\)
b. \({u_n} = {v_n} – 2 = {3.5^{n – 1}} – 2\) với mọi \(n ≥ 1\)
