Bài 5: Cho dãy số
\(\eqalign{
& \left( {{u_n}} \right): \cr
& {\rm{ }}\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 3} \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{\left( {n + 1} \right){u_n}} \over {3n}}{\rm{voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {{{u_n}} \over n}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.
c) Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right)\) theo n.
a) Năm số hạng đầu là \({1 \over 3},{2 \over 9},{1 \over 9},{4 \over {81}},{5 \over {243}}\)
b) Lập tỉ số \({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}}.{n \over {{u_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}.{n \over {n + 1}}\) (1)
Theo công thứcđịnh nghĩa ta có \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {3n}}\) (2)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ (1) và (2) suy ra \({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {1 \over 3}\) hay \({v_{n + 1}} = {1 \over 3}{v_n}\)
Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = {1 \over 3},q = {1 \over 3}\)
c) Để tính \(\left( {{u_n}} \right)\), ta viết tích của n – 1 tỉ số bằng \(\,{1 \over 3}\)
\({{{v_n}} \over {{v_{n – 1}}}}.{{{v_{n – 1}}} \over {{v_{n – 2}}}}…{{{v_3}} \over {{v_2}}}.{{{v_2}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n – 1}}\)
Hay \({{{v_n}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n – 1}}\), suy ra \({v_n} = {1 \over 3}{\left( {{1 \over 3}} \right)^{n – 1}} = {1 \over {{3^n}}}\)
Vậy \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 6: Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?
HD: Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là \({u_2}\), ta có
\({u_9} = {u_2} + 7d,{u_{44}} = {u_2} + 42d\)
Sử dụng tính chất của cấp số nhân \({u_2}.{u_{44}} = u_9^2\) và tổng các số là 217, ta có một hệ phương trìnhđể tìm \({u_2}\) và d.
ĐS: n = 20
Bài 7: Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.
ĐS: Cấp số cộng: 5, 25, 45
Cấp số nhân: 5, 15, 45
Bài 8: Chứng minh rằng nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau.
HD: Gọi 3 số đó là $a – d, a, a + d rồi áp dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân.
