Bài 3.5: Giải các phương trình sau
a) \({\cos ^2}x + 2\sin x\cos x + 5{\sin ^2}x = 2\)
b) \(3{\cos ^2}x – 2\sin 2x + {\sin ^2}x = 1\)
c) \(4{\cos ^2}x – 3\sin x\cos x + 3{\sin ^2}x = 1\)
a) \({\cos ^2}x + 2\sin x\cos x + 5{\sin ^2}x = 2\)
Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được:
\(\eqalign{
& 1 + 2\tan x + 5{\tan ^2}x = 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 2\tan x – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = – 1 \hfill \cr
\tan x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – {\pi \over 4} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan {1 \over 3} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)
b) \(3{\cos ^2}x – 2\sin 2x + {\sin ^2}x = 1\)
Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm \(x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z}\)
Trường hợp cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được:
\(\eqalign{
& 3 – 4\tan x + {\tan ^2}x = 1 + {\tan ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 4\tan x = 2 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow x = \arctan {1 \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z}\) và \(x = \arctan {1 \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z}\)
c) \(4{\cos ^2}x – 3\sin x\cos x + 3{\sin ^2}x = 1\)
Rõ ràng cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
\(\eqalign{
& 4 – 3\tan x + 3{\tan ^2}x = 1 + {\tan ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x – 3\tan x + 3 = 0 \cr} \)
Phương trình cuối vô nghiệm đối với tanx, do đó phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 3.6: Giải các phương trình sau
a) \(2\cos x – \sin x = 2\)
b) \(\sin 5x + \cos 5x = – 1\)
c) \(8{\cos ^4}x – 4\cos 2x + \sin 4x – 4 = 0\)
d) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x + {1 \over 2}\sin 4x = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(\eqalign{
& 2\cos x – \sin x = 2 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left( {{2 \over {\sqrt 5 }}\cos x – {1 \over {\sqrt 5 }}\sin x} \right) = 2 \cr} \)
Kí hiệu α là góc mà \(\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}\) và \({\rm{sin}}\alpha = – {1 \over {\sqrt 5 }}\), ta được phương trình
\(\eqalign{
& \cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x = {2 \over {\sqrt 5 }} \cr
& \Leftrightarrow \cos \left( {x – \alpha } \right) = \cos \alpha \cr
& \Leftrightarrow x – \alpha = \pm \alpha + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2\alpha + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
b) \(\eqalign{
& \sin 5x + \cos 5x = – 1 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {{{\sqrt 2 } \over 2}\sin 5x + {{\sqrt 2 } \over 2}\cos 5x} \right) = – 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos {\pi \over 4}\sin 5x + \sin {\pi \over 4}\cos 5x = – {{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin \left( {5x + {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { – {\pi \over 4}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
5x + {\pi \over 4} = – {\pi \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
5x + {\pi \over 4} = {{5\pi } \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – {\pi \over {10}} + k{{2\pi } \over 5},k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over 5} + k{{2\pi } \over 5},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
c) \(\eqalign{
& 8{\cos ^4}x – 4\cos 2x + \sin 4x – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 8{\left( {{{1 + \cos 2x} \over 2}} \right)^2} – 4\cos 2x + \sin 4x – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {1 + 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right) – 4\cos 2x + \sin 4x – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x + \sin 4x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 + \cos 4x + \sin 4x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 4x + \sin 4x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin \left( {4x + {\pi \over 4}} \right) = \sin {\pi \over 4} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x + {\pi \over 4} = {\pi \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
4x + {\pi \over 4} = {{3\pi } \over 4} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
d) \(\eqalign{
& {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 – 3{\left( {{{\sin 2x} \over 2}} \right)^2} + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 – {3 \over 4}{\sin ^2}2x + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 – {3 \over 4}.{{1 – \cos 4x} \over 2} + {1 \over 2}\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 8 – 3 + 3\cos 4x + 4\sin 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\cos 4x + 4\sin 4x = – 5 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos 4x + {4 \over 5}\sin 4x = – 1 \cr} \)
Kí hiệu α là cung mà \(\sin \alpha = {3 \over 5},\cos \alpha = {4 \over 5}\) ta được:
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \alpha } \right) = – 1 \cr
& \Leftrightarrow 4x + \alpha = {{3\pi } \over 2},k \in Z \cr
& \Leftrightarrow x = {{3\pi } \over 8} – {\alpha \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z \cr} \)
Bài 3.7: Giải các phương trình sau:
a) \(1 + \sin x – \cos x – \sin 2x + 2\cos 2x = 0\)
b) \(\sin x – {1 \over {\sin x}} = {\sin ^2}x – {1 \over {{{\sin }^2}x}}\)
c) \(\cos x\tan 3x = \sin 5x\)
d) \(2{\tan ^2}x + 3\tan x + 2{\cot ^2}x + 3\cot x + 2 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(1 + \sin x – \cos x – \sin 2x + 2\cos 2x = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\eqalign{
& 1 – \sin 2x = {\left( {\sin x – \cos x} \right)^2}; \cr
& 2\cos 2x = 2\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right) \cr
& = – 2\left( {\sin x – \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right), \cr} \)
Vậy \(\eqalign{
& \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {\sin x – \cos x} \right)\left( {1 + \sin x – \cos x – 2\sin x – 2\cos x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sin x – \cos x} \right)\left( {1 – \sin x – 3\cos x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = \cos x \hfill \cr
3\cos x + \sin x = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
{3 \over {\sqrt {10} }}\cos x + {1 \over {\sqrt {10} }}\sin x = {1 \over {\sqrt {10} }} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = \alpha \pm \arccos {1 \over {\sqrt {10} }} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
trong đó, \(\cos \alpha = {3 \over {\sqrt {10} }},\sin \alpha = {1 \over {\sqrt {10} }}\)
b) \(\sin x – {1 \over {\sin x}} = {\sin ^2}x – {1 \over {{{\sin }^2}x}}\left( 2 \right)\)
Điều kiện sinx ≠ 0
\(\eqalign{
& \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {\sin x – {{\sin }^2}x} \right) + \left( {{1 \over {{{\sin }^2}x}} – {1 \over {\sin x}}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x\left( {1 – \sin x} \right) + {{1 – \sin x} \over {{{\sin }^2}x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 – \sin x} \right)\left( {{{\sin }^3}x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 1 \hfill \cr
\sin x = – 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \cr} \)
(thỏa mãn điều kiện)
c) \(\cos x\tan 3x = \sin 5x\left( 3 \right)\)
Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó,
\(\eqalign{
& \left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos x\sin 3x = \cos 3x\sin 5x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right) = {1 \over 2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow \sin 8x = \sin 4x \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
8x = 4x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
8x = \pi – 4x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
\(x = k\pi ,k \in Z\) và \(x = {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6},k \in Z\)
d) \(2{\tan ^2}x + 3\tan x + 2{\cot ^2}x + 3\cot x + 2 = 0\left( 4 \right)\)
Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Khi đó,
\(\eqalign{
& \left( 4 \right) \Leftrightarrow 2\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + 3\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {\tan x + \cot x} \right)}^2} – 2} \right] + 3\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0 \cr}\)
Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình
\(2{t^2} + 3t – 2 = 0 \Rightarrow t = – 2,t = {1 \over 2}\)
Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\tan x + 1 = 0 \Rightarrow \tan x = – 1 \cr
& \Rightarrow x = – {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z{\rm{ }} \cr} \)
(thỏa mãn điều kiện)
Với \(t = {1 \over 2}\) ta có \(\tan x + \cot x = {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x – \tan x + 2 = 0\)
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình (4) là \(x = – {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z\)
Bài 3.8: Giải phương trình
\(\cot x – \tan x + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}}\)
Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t.
Cách 1: Điều kiện của phương trình:
\(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne \pm 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\eqalign{
& \cot x – \tan x + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}} \cr
& \Leftrightarrow {{\cos x} \over {\sin x}} – {{\sin x} \over {\cos x}} + 4\sin 2x – {2 \over {\sin 2x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \over {\sin x.\cos x}} + 4\sin 2x – {2 \over {\sin 2x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {{2\cos 2x} \over {\sin 2x}} + 4\sin 2x – {2 \over {\sin 2x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos 2x + 4{\sin ^2}2x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x + 2\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right) – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – \cos 2x – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 1{\rm{ (loại)}} \hfill \cr
\cos 2x = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow 2x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in Z \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z \cr} \)
Cách 2. Đặt t = tanx
Điều kiện t ≠ 0
Phương trình đã cho có dạng
\(\eqalign{
& {1 \over t} – t + 4.{{2t} \over {1 + {t^2}}} = {{1 + {t^2}} \over t} \cr
& \Leftrightarrow {{1 – {t^2}} \over t} + {{8t} \over {1 + {t^2}}} – {{1 + {t^2}} \over t} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 – {t^4} + 8{t^2} – {\left( {1 + {t^2}} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow – 2{t^4} + 8{t^2} – 2{t^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {t^4} – 3{t^2} = 0 \cr
& \Rightarrow {t^2}\left( {{t^3} – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0{\rm{ }}\left( {{\rm{loại \,\, do}}\left( 2 \right)} \right) \hfill \cr
t = \pm \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \tan x = \pm \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z \cr} \)
