Trang Chủ Sách bài tập lớp 11 SBT Toán 11 Bài 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 trang 35, 36 SBT Đại số và...

Bài 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 trang 35, 36 SBT Đại số và giải tích 11: Giải phương trình: tanx = 3cotx ?

CHIA SẺ
Bài 3 Một số phương trình lượng giác cơ bản Sách bài tập Đại số và giải tích 11. Giải bài 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 trang 35, 36. Câu 3.1: Giải các phương trình sau…; Giải phương trình: tanx = 3cotx ?

Bài 3.1: Giải các phương trình sau

a) \(\cos 2x – \sin x – 1 = 0\)

b) \(\cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x\)

c) \(4\sin x\cos x\cos 2x =  – 1\)

d) \(\tan x = 3\cot x\)

a) \(\eqalign{
& \cos 2x – \sin x – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x – \sin x – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x(2\sin x + 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\sin x = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = – {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) \(\eqalign{
& \cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos 2x – \sin x\sin 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = 1 \Leftrightarrow 3x = k2\pi \cr
& \Leftrightarrow x = {{k2\pi } \over 3},k \in {\rm Z} \cr}\)

c) \(\eqalign{
& 4\sin x\cos x\cos 2x = – 1 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x = – 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin 4x = – 1 \cr
& \Leftrightarrow 4x = – {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = – {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr}\)

d) \(\tan x = 3\cot x\). Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.

Ta có: \(\eqalign{
& \tan x = {3 \over {\tan x}} \cr
& \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 3 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = \pm \sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \)

Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 3.2: Giải các phương trình sau

a) \(\sin x + 2\sin 3x =  – \sin 5x\)

b) \(\cos 5x\cos x = \cos 4x\)

c) \(\sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x\)

d) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x =  – {1 \over 2}{\cos ^2}2x\)

a) \(\eqalign{
& \sin x + 2\sin 3x = – \sin 5x \cr
& \Leftrightarrow \sin 5x + \sin x + 2\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 3x\cos 2x + 2\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 3x\left( {\cos 2x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4\sin 3x{\cos ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 3x = 0 \hfill \cr
\cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 3},k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) \(\eqalign{
& \cos 5x\cos x = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} \right) = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow \cos 6x = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow 6x = \pm 4x + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
10x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = k{\pi \over 5},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}\)

Tập {kπ, k ∈ Z} chứa trong tập \(\left\{ {l{\pi  \over 5},l \in {\rm Z}} \right\}\) ứng với các giá trị l là bội số của 5, nên nghiệm của phương trình là: \(x = k{\pi  \over 5},k \in {\rm Z}\)

c) \(\eqalign{
& \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x \cr
& \Leftrightarrow \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 2}\sin 2x\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x\left( {\cos 2x – 2\sin x\sin 3x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x\cos 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 2x = 0 \hfill \cr
\cos 4x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
4x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)

d) \(\eqalign{
& {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = – {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = – {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x + {1 \over 2}{\cos ^2}2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 + {1 \over 2}\cos 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 4x = – 2 \cr} \)

Phương trình vô nghiệm (Vế phải không dương với mọi x trong khi vế trái dương với mọi x nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Bài 3.3: Giải các phương trình sau

- Quảng cáo -

a) \(3{\cos ^2}x – 2\sin x + 2 = 0\)

b) \(5{\sin ^2}x + 3\cos x + 3 = 0\)

c) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 4{\cos ^2}2x\)

d) \( – {1 \over 4} + {\sin ^2}x = {\cos ^4}x\)

 a) \(\eqalign{
& 3{\cos ^2}x – 2\sin x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) – 2\sin x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x + 2\sin x – 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sin x – 1} \right)\left( {3\sin x + 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x = 1 \cr
& \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \)

b) \(\eqalign{
& 5{\sin ^2}x + 3\cos x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right) + 3\cos x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5{\cos ^2}x – 3\cos x – 8 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {5\cos x – 8} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x = – 1 \cr
& \Leftrightarrow x = \left( {2k + 1} \right)\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \)

c) \(\eqalign{
& {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 – {3 \over 4}{\sin ^2}2x = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 – {3 \over 4}\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right) = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {{13} \over 4}{\cos ^2}2x = {1 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow 13\left( {{{1 + \cos 4x} \over 2}} \right) = 1 \cr
& \Leftrightarrow 1 + \cos 4x = {2 \over {13}} \cr
& \Leftrightarrow \cos 4x = – {{11} \over {13}} \cr
& \Leftrightarrow 4x = \pm \arccos \left( { – {{11} \over {13}}} \right) + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {1 \over 4}\arccos \left( { – {{11} \over {13}}} \right) + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr} \)

d) \(\eqalign{
& – {1 \over 4} + {\sin ^2}x = {\cos ^4}x \cr
& \Leftrightarrow – {1 \over 4} + {{1 – \cos 2x} \over 2} = {\left( {{{1 + \cos 2x} \over 2}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow – 1 + 2 – 2\cos 2x = 1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + 4\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\cos 2x = – 4\left( {Vô\,\,nghiệm} \right){\rm{ }} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow 2x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr} \)

Bài 3.4: Giải các phương trình sau

a) \(2\tan x – 3\cot x – 2 = 0\)

b) \({\cos ^2}x = 3\sin 2x + 3\)

c) \(\cot x – \cot 2x = \tan x + 1\)

a) \(2\tan x – 3\cot x – 2 = 0\) Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0

Ta có : \(\eqalign{
& {\rm{2}}\tan x – {3 \over {\tan x}} – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x – 2\tan x – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {{1 \pm \sqrt 7 } \over 2} \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = \arctan \left( {{{1 + \sqrt 7 } \over 2}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan \left( {{{1 – \sqrt 7 } \over 2}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}\)

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

b) \({\cos ^2}x = 3\sin 2x + 3\)

Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

\(\eqalign{
& 1 = 6\tan x + 3\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 6\tan x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {{ – 3 \pm \sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arctan \left( {{{ – 3 + \sqrt 3 } \over 3}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan \left( {{{ – 3 – \sqrt 3 } \over 3}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)

c) \(\cot x – \cot 2x = \tan x + 1\)      (1)

Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó:

\(\eqalign{
& \left( 1 \right) \Leftrightarrow {{\cos x} \over {\sin x}} – {{\cos 2x} \over {\sin 2x}} = {{\sin x} \over {\cos x}} + 1 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x – \cos 2x = 2{\sin ^2}x + \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right) – \cos 2x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \tan 2x = 1 \cr
& \Rightarrow 2x = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr
& \Rightarrow x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in Z \cr} \)

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình