Bài 3.1: Giải các phương trình sau
a) \(\cos 2x – \sin x – 1 = 0\)
b) \(\cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x\)
c) \(4\sin x\cos x\cos 2x = – 1\)
d) \(\tan x = 3\cot x\)
a) \(\eqalign{
& \cos 2x – \sin x – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x – \sin x – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x(2\sin x + 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr
\sin x = – {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = – {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)
b) \(\eqalign{
& \cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos 2x – \sin x\sin 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = 1 \Leftrightarrow 3x = k2\pi \cr
& \Leftrightarrow x = {{k2\pi } \over 3},k \in {\rm Z} \cr}\)
c) \(\eqalign{
& 4\sin x\cos x\cos 2x = – 1 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x = – 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin 4x = – 1 \cr
& \Leftrightarrow 4x = – {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = – {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr}\)
d) \(\tan x = 3\cot x\). Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.
Ta có: \(\eqalign{
& \tan x = {3 \over {\tan x}} \cr
& \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 3 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = \pm \sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \)
Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 3.2: Giải các phương trình sau
a) \(\sin x + 2\sin 3x = – \sin 5x\)
b) \(\cos 5x\cos x = \cos 4x\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) \(\sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x\)
d) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = – {1 \over 2}{\cos ^2}2x\)
a) \(\eqalign{
& \sin x + 2\sin 3x = – \sin 5x \cr
& \Leftrightarrow \sin 5x + \sin x + 2\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 3x\cos 2x + 2\sin 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin 3x\left( {\cos 2x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4\sin 3x{\cos ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 3x = 0 \hfill \cr
\cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 3},k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)
b) \(\eqalign{
& \cos 5x\cos x = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} \right) = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow \cos 6x = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow 6x = \pm 4x + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
10x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = k{\pi \over 5},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}\)
Tập {kπ, k ∈ Z} chứa trong tập \(\left\{ {l{\pi \over 5},l \in {\rm Z}} \right\}\) ứng với các giá trị l là bội số của 5, nên nghiệm của phương trình là: \(x = k{\pi \over 5},k \in {\rm Z}\)
c) \(\eqalign{
& \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x \cr
& \Leftrightarrow \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 2}\sin 2x\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x\left( {\cos 2x – 2\sin x\sin 3x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x\cos 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 2x = 0 \hfill \cr
\cos 4x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
4x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)
d) \(\eqalign{
& {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = – {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = – {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x + {1 \over 2}{\cos ^2}2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 + {1 \over 2}\cos 4x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 4x = – 2 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm (Vế phải không dương với mọi x trong khi vế trái dương với mọi x nên phương trình đã cho vô nghiệm)
Bài 3.3: Giải các phương trình sau
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(3{\cos ^2}x – 2\sin x + 2 = 0\)
b) \(5{\sin ^2}x + 3\cos x + 3 = 0\)
c) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 4{\cos ^2}2x\)
d) \( – {1 \over 4} + {\sin ^2}x = {\cos ^4}x\)
a) \(\eqalign{
& 3{\cos ^2}x – 2\sin x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) – 2\sin x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x + 2\sin x – 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sin x – 1} \right)\left( {3\sin x + 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x = 1 \cr
& \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \)
b) \(\eqalign{
& 5{\sin ^2}x + 3\cos x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right) + 3\cos x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5{\cos ^2}x – 3\cos x – 8 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {5\cos x – 8} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x = – 1 \cr
& \Leftrightarrow x = \left( {2k + 1} \right)\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \)
c) \(\eqalign{
& {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 – {3 \over 4}{\sin ^2}2x = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow 1 – {3 \over 4}\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right) = 4{\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {{13} \over 4}{\cos ^2}2x = {1 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow 13\left( {{{1 + \cos 4x} \over 2}} \right) = 1 \cr
& \Leftrightarrow 1 + \cos 4x = {2 \over {13}} \cr
& \Leftrightarrow \cos 4x = – {{11} \over {13}} \cr
& \Leftrightarrow 4x = \pm \arccos \left( { – {{11} \over {13}}} \right) + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {1 \over 4}\arccos \left( { – {{11} \over {13}}} \right) + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr} \)
d) \(\eqalign{
& – {1 \over 4} + {\sin ^2}x = {\cos ^4}x \cr
& \Leftrightarrow – {1 \over 4} + {{1 – \cos 2x} \over 2} = {\left( {{{1 + \cos 2x} \over 2}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow – 1 + 2 – 2\cos 2x = 1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + 4\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\cos 2x = – 4\left( {Vô\,\,nghiệm} \right){\rm{ }} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow 2x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr
& \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr} \)
Bài 3.4: Giải các phương trình sau
a) \(2\tan x – 3\cot x – 2 = 0\)
b) \({\cos ^2}x = 3\sin 2x + 3\)
c) \(\cot x – \cot 2x = \tan x + 1\)
a) \(2\tan x – 3\cot x – 2 = 0\) Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0
Ta có : \(\eqalign{
& {\rm{2}}\tan x – {3 \over {\tan x}} – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x – 2\tan x – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {{1 \pm \sqrt 7 } \over 2} \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = \arctan \left( {{{1 + \sqrt 7 } \over 2}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan \left( {{{1 – \sqrt 7 } \over 2}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}\)
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình
b) \({\cos ^2}x = 3\sin 2x + 3\)
Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
\(\eqalign{
& 1 = 6\tan x + 3\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 6\tan x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {{ – 3 \pm \sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arctan \left( {{{ – 3 + \sqrt 3 } \over 3}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan \left( {{{ – 3 – \sqrt 3 } \over 3}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)
c) \(\cot x – \cot 2x = \tan x + 1\) (1)
Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó:
\(\eqalign{
& \left( 1 \right) \Leftrightarrow {{\cos x} \over {\sin x}} – {{\cos 2x} \over {\sin 2x}} = {{\sin x} \over {\cos x}} + 1 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x – \cos 2x = 2{\sin ^2}x + \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right) – \cos 2x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \tan 2x = 1 \cr
& \Rightarrow 2x = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr
& \Rightarrow x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in Z \cr} \)
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình
