\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{1 \over {x – 1}} – {3 \over {{x^3} – 1}}{\rm{ , nếu\,\, }}x > 1 \hfill \cr
mx + 2{\rm{ }},\,{\rm{ nếu }}\,,x \le 1 \hfill \cr} \right.\)
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi \(x \to 1\) ? Tìm giới hạn này.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{1 \over {x – 1}} – {3 \over {{x^3} – 1}}} \right) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + x – 2} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {{x^2} + x + 1}} = 1 \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {mx + 2} \right) = m + 2\)
\(f\left( x \right)\) có giới hạn khi \(x \to 1 \Leftrightarrow m + 2 = 1 \Leftrightarrow m = – 1\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1\)
Bài 2.10: Cho khoảng \(K,{x_0} \in K\) và hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)
Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty \) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) sao cho \(f\left( c \right) > 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty \) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta luôn có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = + \infty \)
Từ định nghĩa suy ra \(f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì \(f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ một số hạng nàođó trởđi.
Advertisements (Quảng cáo)
Nói cách khác, luôn tồn tạiít nhất một số \({x_k} \in K\backslash \left\{ {{x_o}} \right\}\) sao cho \(f\left( {{x_k}} \right) > 1\).
Đặt \(c = {x_k}\) ta có \(f\left( c \right) > 0\)
Bài 2.11: Cho hàm số y = f\left( x \right) xácđịnh trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\)
Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = – \infty \) thì luôn tồn tại ít nhất một sốc thuộc \(\left( {a; + \infty } \right)\) sao cho \(f\left( c \right) < 0\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = – \infty \) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \) ta luôn có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( x \right) = – \infty \)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ { – f\left( {{x_n}} \right)} \right] = + \infty \)
Theo định nghĩa suy ra \( – f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 2 thì \( – f\left( {{x_n}} \right) > 2\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số \({x_k} \in \left( {a; + \infty } \right)\) sao cho \( – f\left( {{x_k}} \right) > 2\) hay \(f\left( {{x_k}} \right) < – 2 < 0\)
Đặt \(c = {x_k}\) ta có \(f\left( c \right) < 0\)
