Bài 13: a) \({x^5} – 5x – 1 = 0\) có ít nhất ba nghiệm ;
b) \(m{\left( {x – 1} \right)^3}\left( {{x^2} – 4} \right) + {x^4} – 3 = 0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m ;
c) \({x^3} – 3x = m\) có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của $m \in \left( { – 2;2} \right)\)
Giải :
Hướng dẫn :
a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} – 5x – 1\) trên các đoạn \(\left[ { – 2; – 1} \right],\left[ { – 1;0} \right],\left[ {0;3} \right]\)
b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = m{\left( {x – 1} \right)^3}\left( {{x^2} – 4} \right) + {x^4} – 3\) trên các đoạn \(\left[ { – 2;1} \right],\left[ {1;2} \right]\)
c) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3x – m\) trên các đoạn \(\left[ { – 1;1} \right],\left[ {1;2} \right]\)
Bài 14: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^3} + 8x + 1} \over {x – 2}}\). Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm hay không
a) trong khoảng (1; 3) ?
Advertisements (Quảng cáo)
b) trong khoảng (-3; 1) ?
a) Với \(x \ne 2\) ta có \({{{x^3} + 8x + 1} \over {x – 2}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 8x + 1 = 0\)
Vì \({x^3} + 8x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \left( {1;3} \right)\) nên phương trình \({x^3} + 8x + 1 = 0\) không có nghiệm trong khoảng này.
b) \(f\left( x \right)\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên \(\left( { – \infty ;2} \right)\). Do đó, nó liên tục trên [-3; 1]
Advertisements (Quảng cáo)
Mặt khác, \(f\left( { – 3} \right)f\left( 1 \right) = – 100 < 0\)
Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng (- 3; 1)
Bài 15: Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\) Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) – f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)
Giải :
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\)
Ta có \(\eqalign{
& g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) – f\left( {0 + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left( 0 \right) – f\left( {{1 \over 2}} \right) \cr
& g\left( {{1 \over 2}} \right) = f\left( {{1 \over 2}} \right) – f\left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) – f\left( 1 \right) \cr
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) – f\left( 0 \right) \cr} \)
(vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\)).
Do đó,
\(\eqalign{
& g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = \left[ {f\left( 0 \right) – f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]\left[ {f\left( {{1 \over 2}} \right) – f\left( 0 \right)} \right] \cr
& = – {\left[ {f\left( 0 \right) – f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]^2} \le 0. \cr}\)
– Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = 0\) thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\)
– Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) < 0\) (1)
Vì \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) – f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left( {0;{1 \over 2}} \right)\)
