Bài 2.1: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} {{x + 3} \over {x – 3}}\) ;
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} + 1} \over {{x^2} + 1}}\)
a) – 4 ; b) + ∞
Bài 2.3: a) Chứng minh rằng hàm số \(y = \sin x\) không có giới hạn khi \(x \to + \infty \)
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).
Giải :
Advertisements (Quảng cáo)
a) Xét hai dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 2n\pi \) và \(\left( {{b_n}} \right)\) với \(\left( {{b_n}} \right) = {\pi \over 2} + 2n\pi {\rm{ }}\left( {n \in N*} \right)\)
Ta có, \(\lim {a_n} = \lim 2n\pi = + \infty \) ;
\(\lim {b_n} = \lim \left( {{\pi \over 2} + 2n\pi } \right)\)
\(= \lim n\left( {{\pi \over {2n}} + 2\pi } \right) = + \infty \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\lim \sin {a_n} = \lim \sin 2n\pi = \lim 0 = 0\)
\(\lim \sin {b_n} = \lim \sin \left( {{\pi \over 2} + 2n\pi } \right) = \lim 1 = 1\)
Như vậy, \({a_n} \to + \infty ,{\rm{ }}{b_n} \to + \infty \) nhưng \(\lim \sin {a_n} \ne \lim \sin {b_n}\). Do đó, theo định nghĩa, hàm số \(y = \sin x\) không có giới hạn khi \(x \to + \infty \)
Bài 2.4: Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cùng xác định trên khoảng \(\left( { – \infty ,a} \right)\). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M\)
Giải :
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \({x_n} < a\) và \({x_n} \to – \infty \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = L\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = L\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = M\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } g\left( {{x_n}} \right) = M\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right).g\left( {{x_n}} \right) = L.M\)
Từ định nghĩa suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M\)
