Bài 3.37: Cho ba điểm A(2;1), B(0;5), C(-1;-10).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Chứng minh I, G, H thẳng hàng
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) + Trọng tâm \(G\left( { – 1; – {4 \over 3}} \right)\)
+ Tọa độ trực tâm H(x;y)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AH} (x – 2;y – 1) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = (x – 2).( – 5) + (y – 1).( – 15) \cr} \)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {BH} = (x;y – 5) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = x.( – 7) + (y – 5).( – 11) \cr} \)
Do là trực tâm
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
(x – 2).( – 5) + (y – 1).( – 15) = 0 \hfill \cr
x.( – 7) + (y – 5).( – 11) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 11 \hfill \cr
y = – 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+ Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I(x;y)
\(AI_{}^2 = (x – 2)_{}^2 + (y – 1)_{}^2\)
\(BI_{}^2 = x_{}^2 + (y – 5)_{}^2\)
\(CI_{}^2 = (x + 5)_{}^2 + (y + 10)_{}^2\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\eqalign{
& AI_{}^2 = BI_{}^2 = CI_{}^2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
AI_{}^2 = BI_{}^2 \hfill \cr
BI_{}^2 = CI_{}^2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
(x – 2)_{}^2 + (y – 1)_{}^2 = x_{}^2 + (y – 5)_{}^2 \hfill \cr
x_{}^2 + (y – 5)_{}^2 = (x + 5)_{}^2 + (y + 10)_{}^2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 7 \hfill \cr
y = – 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {IH} (18; – 1)\), \(\overrightarrow {IG} \left( {6; – {1 \over 3}} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} = 3\overrightarrow {IG} \) suy ra I,G,H thẳng hàng.
c) Ta có:
\(R = IA = \sqrt {( – 7 – 2)_{}^2 + ( – 1 – 1)_{}^2} = \sqrt {85} \)
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \((x + 7)_{}^2 + (y + 1)_{}^2 = 85\)
Bài 3.38: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số
\(\left\{ \matrix{
x = 2 – 3t \hfill \cr
y = t. \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Hai điểm A(-7;3) và B(2;1) có nằm trên \(\Delta \) không ?
b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\Delta \) với hai trục Ox và Oy.
c) Tìm trên \(\Delta \) điểm M sao cho đoạn BM ngắn nhất.
a) Thay tọa độ A, B vào phương trình tham số của \(\Delta \) ta có: \(A \in \Delta ,B \notin \Delta \)
b) Trục Oy : x = 0 thay vào phương trình tham số
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
0 = 2 – 3t \hfill \cr
y = t \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {2 \over 3}\)
Vậy giao điểm của \(\Delta \) và Oy là \(\left( {0;{2 \over 3}} \right)\).
Ox : y = 0 thay vào phương trình tham số
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 – 3t \hfill \cr
0 = t \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy giao điểm của \(\Delta \) và Ox là (0;2).
c) Vì $\(M \in \Delta \) nên tọa độ M có dạng \(\left( {2 – 3t;t} \right)\)
\(\overrightarrow {BM} = \left( { – 3t;t – 1} \right)\)
\({\overrightarrow u _\Delta } = ( – 3;1).\)
Ta có : BM ngắn nhất
\( \Leftrightarrow BM \bot {\overrightarrow u _\Delta } \Leftrightarrow 9t + t – 1 = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over {10}}.\)
Vậy điểm M thỏa mãn đề bài có tọa độ là \(\left( {{{17} \over {10}};{1 \over {10}}} \right).\)
Bài 3.39: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết A(3;0), B(-3;3) và phương trình đường thẳng chứa cạnh CD : x + 2y – 8 = 0. Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại.
AB:x + 2y – 3 = 0;
AD:2x – y – 6 = 0;
BC:2x – y + 9 = 0.
