Bài 1.12: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} ) \cr
& = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \cr} \)
Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF= FC; BE cắt AM tại N. Chứng minh \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {NM} \) là hai vec tơ đối nhau.
(h. 1.41)
FM // BE vì FM là đường trung bình của tam giác CEB.
Ta có EA = EF . Vậy EN là đường trung bình của tam giác AFM. Vậy $\(\overrightarrow {NA} = – \overrightarrow {NM} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 1.14: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) \(\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \)
b) \(\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \)
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} \). Vậy mọi điểm M đều thỏa mãn hệ thức a).
b) \(\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow A \equiv B\), vô lí. Vậy không có điểm M nào thỏa mãn hệ thức b).
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = – \overrightarrow {MB} \). Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 1.15: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB} } \right|\) thì tam giác ACB là tam giác vuông cân tại C.
Vẽ hình bình hành CADB.
Ta có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CD} \), do đó \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = CD\)
Vì \(\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} \), do đó \(\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB} } \right| = BA\)
Từ \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB} } \right|\) suy ra CD = AB (h.1.42)
Vậy tứ giác CADB là hình chữ nhật. Ta có tam giác ACB vuông tại C.
