Bài 65: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) |x2 – 5x + 4| = x2 + 6x + 5
b) |x – 1| = 2x – 1
c) |-x2 + x – 1| ≤ 2x + 5
d) |x2 – x| ≤ |x2 – 1|
Đáp án
a) Điều kiện:
x2+ 6x + 5 ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le – 5 \hfill \cr
x \ge – 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& |{x^2} – 5x + 4| = {x^2} + 6x + 5 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} – 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5 \hfill \cr
{x^2} – 5x + 4 = – {x^2} – 6x – 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
– 11x = 1 \hfill \cr
2{x^2} + x + 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = – {1 \over {11}} \cr} \)
Ta thấy giá trị x vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Vậy \(S = {\rm{\{ – }}{1 \over {11}}{\rm{\} }}\)
b) Điều kiện: \(x \ge {1 \over 2}\)
Ta có:
\(|x – 1| = 2x – 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x – 1 = 2x – 1 \hfill \cr
x – 1 = 1 – 2x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\, \hfill \cr
x = {2 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{2 \over 3}{\rm{\} }}\)
c) Vì -x2 + x – 1 < 0 với ∀x ∈ R nên:
|-x2 + x – 1| ≤ 2x + 5 ⇔ x2 – x + 1 ≤ 2x + 5
⇔ x2 – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4
Vậy S = [-1, 4]
d) Ta có:
|x2 – x| ≤ |x2 – 1|
⇔ (x2 – x)2 – (x2 – 1)2 ≤ 0
⇔ (1 – x)(2x2 – x – 1) ≤ 0 ⇔ (x – 1)2(2x + 1) ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
2x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge – {1 \over 2}\)
Vậy \(S = {\rm{[}} – {1 \over 2}; + \infty )\)
Bài 66: Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {2{x^2} + 4x – 1} = x + 1\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) \(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\)
c) \(\sqrt {{x^2} + 2x} = – 2{x^2} – 4x + 3\)
d) \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = {x^2} + 3x – 4\)
c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) ,
ta được phương trình: y = -2y2 + 3
d) Vì (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 nên ta đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) ,
ta được phương trình y = y2 – 6
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2{x^2} + 4x – 1} = x + 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 10 \hfill \cr
2{x^2} + 4x – 1 = {(x + 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = – 1 + \sqrt 3 \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} – 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 10 \hfill \cr
4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 10 \hfill \cr
21x = 336 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 16 \cr} \)
Vậy S = {16}
c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) , ta có phương trình:
\(\eqalign{
& y = – 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 1 \hfill \cr
y = – {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Ta thấy y = 1 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0
Nên: \(y = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 1 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Leftrightarrow x = – 1 \pm \sqrt 2 \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} – 1 – \sqrt 2 , – 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}\)
d) Đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) , suy ra:
x2 + 3x = y2 – 2
Ta có phương trình:
\(y = {y^2} – 6 \Leftrightarrow {y^2} – y – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 3 \hfill \cr
y = – 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta thấy y = 3 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0, nên:
\(\eqalign{
& y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 7 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{ – 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr} \)
Vậy: \(S = {\rm{\{ }}{{ – 3 – \sqrt {37} } \over 2};\,{{ – 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}\)
Bài 67: Giải các bất phương trình:
a) \(\sqrt {{x^2} + x – 6} < x – 1\)
b) \(\sqrt {2x – 1} \le 2x – 3\)
c) \(\sqrt {2{x^2} – 1} > 1 – x\)
d) \(\sqrt {{x^2} – 5x – 14} \ge 2x – 1\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x – 6} < x – 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + x – 6 \ge 0 \hfill \cr
x – 1 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x – 6 < {(x – 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le 3 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr
3x < 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < {7 \over 3} \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}2,{7 \over 3})\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2x – 1} \le 2x – 3 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x – 1 \ge 0 \hfill \cr
2x – 3 \ge 0 \hfill \cr
2x – 1 \le {(2x – 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr
x \ge {3 \over 2} \hfill \cr
4{x^2} – 14x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge {3 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
x \ge {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {5 \over 2} \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}{5 \over 2}; + \infty )\)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2{x^2} – 1} > 1 – x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
1 – x < 0 \hfill \cr
2{x^2} – 1 > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
1 – x \ge 0 \hfill \cr
2{x^2} – 1 > {(1 – x)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x > 1 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x – 2 > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 1 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < – 1 – \sqrt 3 \hfill \cr
x > – 1 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < – 1 – \sqrt 3 \hfill \cr
x > – 1 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = ( – \infty , – 1 – \sqrt 3 ) \cup ( – 1 + \sqrt 3 , + \infty )\)
d) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – 5x – 14} \ge 2x – 1 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
2x – 1 < 0 \hfill \cr
{x^2} – 5x – 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
2x – 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} – 5x – 14 \ge {(2x – 1)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x < {1 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge 7 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr
3{x^2} + x + 15 \le 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le – 2 \cr} \)
Vậy \(S = (-∞, -2]\)
Bài 68: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a) \(y = \sqrt {|{x^2} + 3x – 4| – x + 8} \)
b) \(y = \sqrt {{{{x^2} + x + 1} \over {|2x – 1| – x – 2}}} \)
c) \(y = \sqrt {{1 \over {{x^2} – 7x + 5}} – {1 \over {{x^2} + 2x + 5}}} \)
d) \(\sqrt {\sqrt {{x^2} – 5x – 14} – x + 3}\)
Đáp án
a) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& |{x^2} + 3x – 4| – x + 8 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \,|{x^2} + 3x – 4|\,\, \ge x – 8 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 3x – 4 \ge x – 8 \hfill \cr
{x^2} + 3x – 4 \le 8 – x \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 2x + 4 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 4x – 12 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \forall x \in R \cr} \)
Vậy \(S =\mathbb R\)
b) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \({{{x^2} + x + 1} \over {|2x – 1| – x – 2}} \ge 0\)
Vì x2 + x + 1 > 0 với mọi x ∈ R nên bất phương trình trên tương đương với bất phương trình \(|2x – 1| – x – 2 > 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow |2x – 1| > x + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x – 1 > x + 2 \hfill \cr
2x – 1 < – x – 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x > 3 \hfill \cr
x < – {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = ( – \infty , – {1 \over 3}) \cup (3, + \infty )\)
c) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& {1 \over {{x^2} – 7x + 5}} – {1 \over {{x^2} + 2x + 5}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 2x + 5 – ({x^2} – 7x + 5)} \over {({x^2} – 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{9x} \over {({x^2} – 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {x \over {{x^2} – 7x + 5}} \ge 0\,\,({x^2} + 2x + 5 > 0\,\,\,\forall x) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 \le x < {{7 – \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr
x > {{7 + \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}0,\,{{7 – \sqrt {29} } \over 2}) \cup ({{7 + \sqrt {29} } \over 2}, + \infty )\)
d) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – 5x – 14} – x + 3 \ge 0 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 5x – 14} \ge x – 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x – 3 < 0 \hfill \cr
{x^2} – 5x – 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x – 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} – 5x – 14 \ge {(x – 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x < 3 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge 7 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge 3 \hfill \cr
x \ge 23 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge 23 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = (-∞; -2] ∪ [23, +∞)\)
