Bài 32: Lập bảng xét dấu của các biểu thức
a) \({{4 – 3x} \over {2x + 1}}\)
b) \(1 – {{2 – x} \over {3x – 2}}\)
c) \(x{(x – 2)^2}(3 – x)\)
d) \({{x{{(x – 3)}^2}} \over {(x – 5)(1 – x)}}\)
a) Ta có bảng xét dấu:
b)
Ta có: \(1 – {{2 – x} \over {3x – 2}} = {{4x – 4} \over {3x – 2}}\)
Ta có bảng xét dấu:
c) Ta có bảng xét dấu sau:
d) Ta có bảng xét dấu sau:
Bài 33: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bậc nhất rồi xét dấu:
a) \(–x^2+ x + 6\)
b) \(2{x^2} – (2 + \sqrt 3 )x + \sqrt 3 \)
a) Phương trình \(–x^2+ x + 6 = 0\) có hai nghiệm : x1 = -2 và x2 = 3
Nên \(–x^2 + x + 6= -(x + 2)(x – 3) = (-x-2)(x-3)\)
Ta có bảng xét dấu:
b) Phương trình \(2{x^2} – (2 + \sqrt 3 )x + \sqrt 3 \) = 0 có hai nghiệm là x1 = 1 và \({x_2} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)
Do đó:
Advertisements (Quảng cáo)
\(2{x^2} – (2 + \sqrt 3 )x + \sqrt 3 = 2(x – 1)(x – {{\sqrt 3 } \over 2}) \)
\(= (x – 1)(2x – \sqrt 3 )\)
Ta có bảng xét dấu sau:
Bài 34: Giải các bất phương trình
a) \({{(3 – x)(x – 2)} \over {x + 1}} \le 0\)
b) \({3 \over {1 – x}} \ge {5 \over {2x + 1}}\)
c) \(|2x – \sqrt 2 |\, + \,|\sqrt 2 – x|\, > \,3x – 2\)
d) \(|(\sqrt 2 – \sqrt 3 )x + 1|\, \le \,\sqrt 3 + \sqrt 2 \)
Đáp án
a) Ta có bảng xét dấu:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({{(3 – x)(x – 2)} \over {x + 1}} \le 0\) là:
\(S = (-1, 2] ∪ [3, +∞)\)
b) Ta có:
\({3 \over {1 – x}} \ge {5 \over {2x + 1}} \Leftrightarrow {{3(2x + 1) – 5(1 – x)} \over {(1 – x)(2x + 1)}} \ge 0 \Leftrightarrow {{11x – 2} \over {(1 – x)(2x + 1)}} \ge 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = ( – \infty ; – {1 \over 2}) \cup {\rm{[}}{2 \over {11}},1)\)
c) Ta có bảng xét dấu:
i) Với \(x < {{\sqrt 2 } \over 2}\) , ta có:
\(\eqalign{
& (1) \Leftrightarrow – 2x + \sqrt 2 + \sqrt 2 – x > 3x – 2 \cr&\Leftrightarrow 6x < 2\sqrt 2 + 2 \cr
& \Leftrightarrow x < {{\sqrt 2 + 1} \over 3} \cr} \)
Vì \({{\sqrt 2 } \over 2} < {{\sqrt 2 + 1} \over 3} \Rightarrow x < {{\sqrt 2 } \over 2}\)
ii) Với \({{\sqrt 2 } \over 2} \le x < \sqrt2\) , ta có:
\((1) \Leftrightarrow 2x – \sqrt 2 + \sqrt 2 – x > 3x – 2 \Leftrightarrow x < 1\)
Kết hợp điều kiện ta có: \({{\sqrt 2 } \over 2} \le x < 1\)
iii) Với \(x \ge \sqrt 2 \)
\((1) \Leftrightarrow 2x – \sqrt 2 – \sqrt 2 + x > 3x – 2\)
\(\Leftrightarrow – 2\sqrt 2 > – 2\) (vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = ( – \infty ,{{\sqrt 2 } \over 2}) \cup {\rm{[}}{{\sqrt 2 } \over 2},1) = ( – \infty ,1)\)
d) Áp dụng: \(|A| ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B\)
Ta có:
\(\eqalign{
& |(\sqrt 2 – \sqrt 3 )x + 1|\, \le \,\sqrt 3 + \sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow – \sqrt 3 – \sqrt 2 \le (\sqrt 2 – \sqrt 3 )x + 1 \le \sqrt 3 + \sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow – \sqrt 3 – \sqrt 2 – 1 \le (\sqrt 2 – \sqrt 3 )x \le \sqrt 3 + \sqrt 2 – 1 \cr
& \Leftrightarrow {{ – \sqrt 3 – \sqrt 2 – 1} \over {\sqrt 2 – \sqrt 3 }} \ge x \ge {{\sqrt 3 + \sqrt 2 – 1} \over {\sqrt 2 – \sqrt 3 }} \cr
& \Leftrightarrow (\sqrt 3 + \sqrt 2 + 1)(\sqrt 3 + \sqrt 2 ) \ge x \ge \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1 – \sqrt 3 – \sqrt 2 )(\sqrt 3 + \sqrt 2 ) \cr
& \Leftrightarrow 5 + 2\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 \ge x \ge \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;- 5 – 2\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}} – 5 – 2\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 ;\,5 + 2\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 )\)
Bài 35: Giải các hệ bất phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
(x – 3)(\sqrt 2 – x) > 0 \hfill \cr
{{4x – 3} \over 2} < x + 3 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{2 \over {2x – 1}} \le {1 \over {3 – x}} \hfill \cr
|x| < 1 \hfill \cr} \right.\)
Đáp án
a) Ta có bảng xét dấu:
Ta có:
\(\eqalign{
& (x – 3)(\sqrt 2 – x) > 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 < x < 3\,\,(1) \cr
& {{4x – 3} \over 2} < x + 3 \Leftrightarrow 2x < 9 \Leftrightarrow x < {9 \over 2}\,\,\,(2) \cr} \)
Từ (1) và (2) ta có: \(\sqrt 2 < x < 3\)
Vậy \(S = (\sqrt 2 ,3)\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {2 \over {2x – 1}} \le {1 \over {3 – x}} \Leftrightarrow {2 \over {2x – 1}} – {1 \over {3 – x}} \le 0 \cr
& \Leftrightarrow {{6 – 2x – 2x + 1} \over {(2x – 1)(3 – x)}} \le 0 \Leftrightarrow {{ – 4x + 7} \over {(2x – 1)(3 – x)}} \le 0 \cr} \)
Bảng xét dấu:
Ta có:
\({{ – 4x + 7} \over {(2x – 1)(3 – x)}} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < {1 \over 2} \hfill \cr
{7 \over 4} \le x < 3 \hfill \cr} \right.\)
Hệ đã cho tương đương với:
\(\left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < {1 \over 2} \hfill \cr
{7 \over 4} \le x < 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
– 1 < x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow – 1 < x < {1 \over 2}\)
Vậy \(S = ( – 1;{1 \over 2})\)
