Bài 36: Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc \({{{x^2}} \over {{a^2}}} – {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1.\) Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Tiêu cự của (H) là 2c, trong đó \({c^2} = {a^2} + {b^2}.\)
b) (H) có độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b.
c) Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là \(y = \pm {a \over b}x.\)
d) Tâm sai của (H) là \(e = {c \over a} > 1.\)
Các mệnh đề đúng là: a); b); d).
Mệnh đề sai là: c).
Bài 37: Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau
\(\eqalign{
& a){{{x^2}} \over 9} – {{{y^2}} \over 4} = 1; \cr
& b){{{x^2}} \over 9} – {y^2 \over {16}} = 1; \cr
& c){x^2} – 9{y^2} = 9. \cr} \)
a) Ta có: \(a = 3,b = 2,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {13.} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt {13} ;0} \right),\,{F_2}\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\)
Các đỉnh \({A_1}\left( { – 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right)\)
Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo: 2b = 4
Phương trình tiệm cận của hypebol: \(y = \pm {2 \over 3}x.\)
b) Ta có: \(a = 3,b = 4,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5.\)
Tiêu điểm \({F_1}\left( { – 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right).\)
Các đỉnh \({A_1}\left( { – 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right).\)
Advertisements (Quảng cáo)
Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo: 2b = 8
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: \(y = \pm {4 \over 3}x.\)
c) Ta có: \({x^2} – 9{y^2} = 9 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} – {y^2} = 1\)
\(a = 3,b = 1,c = \sqrt {10} \)
Tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt {10} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {10} ;0} \right)\)
Các đỉnh: \({A_1}\left( { – 3;0} \right),\,{A_2}\left( {3;0} \right)\)
Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo 2b = 2
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: \(y = \pm {1 \over 3}x.\)
Bài 38: Cho đường tròn (C) tâm \({F_1}\) , bán kính R và một điểm \({F_2}\) ở ngoài (C). Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn đi qua \({F_2}\) , tiếp xúc với (C) là một đường hypebol. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó.
Gọi M là tâm đường tròn đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với (C)
Ta có: \(|M{F_1} – M{F_2}| = R = 2a\)
Vậy tập hợp các điểm M là đường hypebol (H) có \(a = {R \over 2},c = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\)
\( \Rightarrow {b^2} = {c^2} – {a^2} = {{{F_1}{F_2}^2 – {R^2}} \over 4}\)
Phương trình chính tắc của (H) là:
\({{{x^2}} \over {{{\left( {{R \over 2}} \right)}^2}}} – {{{y^2}} \over {{{\left( {{{\sqrt {{F_1}{F_2}^2 – {R^2}} } \over 2}} \right)}^2}}} = 1.\)
