Bài 3.46: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;1).
a) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d: x – y – 1 = 0 tại M(2;1) và có tâm nằm trên đường thẳng d’ 😡 – 2y – 6 = 0
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng m: x – y + 3 = 0
a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và vuông góc với d có phương trình \(\Delta 😡 + y + C = 0\). \(\Delta \) qua M nên C = -3. Vậy \(\Delta 😡 + y – 3 = 0\)
Tọa độ tâm I của đường tròn (C) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
x + y – 3 = 0 \hfill \cr
x – 2y – 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = – 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I(4; – 1).\)
Bán kính \(R = IM = 2\sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn cần tìm có tâm I(4;-1) và có bán kính \(R = 2\sqrt 2 \) là:
\({(x – 4)^2} + {(y + 1)^2} = 8.\)
b) Đường thẳng m: x – y + 3 = 0 Tiếp tuyến \(\Delta ‘\) với (C) vuông góc với đường thẳng m nên \(\Delta ‘\) có phương trình : x + y + c = 0
\(\Delta ‘\) là tiếp tuyến với (C) \( \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta ‘} \right] = R\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta ‘} \right] = R \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {4 – 1 + c} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 1 \hfill \cr
c = – 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy có hai tiếp tuyến với (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là :
\(\left[ \matrix{
\Delta {‘_1}:x + y + 1 = 0 \hfill \cr
\Delta {‘_2}:x + y – 7 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3.47: Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) đi qua A(1;-6) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :2x + y + 1 = 0\) tại B( – 2;3).
Gọi I(a;b) là tâm của (C).
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AI} = (a – 1;b + 6); \cr
& \,\overrightarrow {BI} = (a + 2;b – 3)\,; \cr
& \,{\overrightarrow u _\Delta } = ( – 1;2) \cr} \)
là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)
Ta có : IA = IB = R và
\(IB \bot \Delta \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr
{\overrightarrow u _\Delta }.\overrightarrow {BI} = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(a – 1)^2} + {(b + 6)^2} = {(a + 2)^2} + {(b – 3)^2} \hfill \cr
– 1.(a + 2) + 2.(b – 3) = 0 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
6a – 18b = 24 \hfill \cr
– a + 2b = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = – 32 \hfill \cr
b = – 12 \hfill \cr} \right.\)
Khi đó \({R^2} = A{I^2} = {( – 33)^2} + {( – 6)^2} = 1125\)
Vậy (C) : \({(x + 32)^2} + {(y + 12)^2} = 1125\)
Bài 3.48: Cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} – 6x + 4y – 12 = 0.\)
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính của đường tròn (C) ;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đườn tròn (C) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 5x + 12y + 2012 = 0.
a) (C) có tâm I(3;-1) và R = 5.
b) Tiếp tuyến \(\Delta \) song song với d \( \Rightarrow \Delta :5x + 12y + c = 0\,(c \ne 2012)\)
\(\Delta \) tiếp xúc với (C) \( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{\left| {5.3 + 12.( – 2) + c} \right|} \over {\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \left| {c – 9} \right| = 65 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 74 \hfill \cr
c = – 56 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(\Delta :5x + 12y + 74 = 0\) hay \(\Delta :5x + 12y – 56 = 0.\)
Bài 3.49: Cho elip (E): \({{{x^2}} \over {64}} + {{{y^2}} \over {48}} = 1.\)
Tìm tọa độ những điểm M trên (E) sao cho : \(M{F_1} + 2M{F_2} = 26\)
Ta có \(a = 8\,;\,b = 4\sqrt 3 \,;\,c = 4\,;\,{c \over a} = {1 \over 2}\,.\)
\(\eqalign{
& M(x;y) \in (E) \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {64}} + {{{y^2}} \over {48}} = 1\,\,\,(1)\,\,; \cr
& \,{F_1}M = 8 + {x \over 2};\,{F_2}M = 8 – {x \over 2}. \cr} \)
Theo giả thiết ta có:
\(\eqalign{
& 8 + {x \over 2} + 2\left( {8 – {x \over 2}} \right) = 26 \cr
& \Leftrightarrow 24 – {x \over 2} = 26 \Leftrightarrow x = – 4. \cr} \)
Thay vào (1) ta được:
\({{16} \over {64}} = {{{y^2}} \over {48}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 36 \Leftrightarrow y = \pm 6.\)
Vậy \(M( – 4; \pm 6).\)
