Bài 2 Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai SBT Toán Đại số lớp 10. Giải bài 9, 10, 11 trang 69 Sách bài tập Toán Đại số 10. Câu 9: Cho phương trình bậc hai với tham số m…
Bài 9: Cho phương trình bậc hai với tham số m
\(3{x^2} – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0\)
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Trước hết tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm. Sau đó sử dụng định lí Vi – ét.
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi biệt thức dương. Ta có:
\(\Delta ‘ = {(m + 1)^2} – 3(3m – 5) = {m^2} – 7m + 16\)
Các giá trị m tìm được phải thỏa mãn điều kiện \({m^2} – 7m + 16 > 0\) tuy nhiên, trong trường hợp này tam thức bậc hai \({m^2} – 7m + 16 > 0\) với mọi m. Xem §5 chương IV).
Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} = 3{x_2}\)
Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Theo định lí Vi – ét ta có
\({x_1} + {x_2} = {{2(m + 1)} \over 3},{x_1}{x_2} = {{3m – 5} \over 3}\)
Từ đó suy ra:
\({x_2} = {{m + 1} \over 6},3x_2^2 = {{3m – 5} \over 3}\)
Khử \({x_2}\) ta được phương trình bậc hai đối với m:
\({m^2} – 10m + 21 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \({m_1} = 7,{m_2} = 3\)
+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {4 \over 3},{x_1} = 4\)
+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {2 \over 3},{x_1} = 2\)
Bài 10: Giải các phương trình
a) \(\sqrt {3x – 4} = x – 3\)
b) \(\sqrt {{x^2} – 2x + 3} = 2x – 1\)
c) \(\sqrt {2{x^2} + 3x + 7} = x + 2\)
d) \(\sqrt {3{x^2} – 4x – 4} = \sqrt {2x – 5} \)
a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge {4 \over 3}\)
Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả
\(3x – 4 = {x^2} – 6x + 9 = > {x^2} – 9x + 13 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình cuối có hai nghiệm \(x = {{9 \pm \sqrt {29} } \over 2}\). Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(x \ge {4 \over 3}\) nhưng khi thay vào phương trình ban đều thì giá trị \({{9 – \sqrt {29} } \over 2}\) bị loại (vế trái dương nhưng vế phải âm).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = {{9 + \sqrt {29} } \over 2}\)
b) Điều kiện của phương trình là \({x^2} – 2x + 3 > 0\)
Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả.
\({x^2} – 2x + 3 = 4{x^2} – 4x + 1\)
\(\Leftrightarrow 3{x^2} – 2x – 2 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \(x = {{1 \pm \sqrt 7 } \over 3}\) . Khi thay các giá trị này vào phương trình ban đầu thì giá trị \({{1 – \sqrt 7 } \over 3}\) bị loại.
Đáp số: \(x = {{1 + \sqrt 7 } \over 3}\)
c) Điều kiện của phương trình \({x^2} + 3x + 7 > 0\)
\(\sqrt {2{x^2} + 3x + 7} = x + 2 = > 2{x^2} + 3x + 7 = {x^2} + 4x + 4\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – x + 3 = 0\)
Phương trình cuối vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Điều kiện của phương trình là: \(3{x^2} – 4x – 4 \ge 0\) và \(2x + 5 \ge 0\)
\(\sqrt {3{x^2} – 4x – 4} = \sqrt {2x + 5} = > 3{x^2} – 4x – 4 = 2x + 5\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = – 1,{x_2} = 3\) . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn các điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy phương trình đã có hai nghiệm \(x = – 1,x = 3\)
Bài 11: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau
a) \(|3x + 2m| = x – m\)
b) \(|2x + m| = |x – 2m + 2|\)
c) \(m{x^2} + (2m – 1)x + m – 2 = 0\)
d) \({{\sqrt {4x – 2} } \over {2x – 1}} = m – 1\)
a) Với \(x \ge – {{2m} \over 3}\) phương trình đã cho trở thành
\(3x + 2m = x – m \Leftrightarrow 2x = – 3m \Leftrightarrow x = – {{3m} \over 2}\)
Ta có:
\( – {{3m} \over 2} \ge – {{2m} \over 3} \Leftrightarrow – 9m \ge – 4m\)
\( \Leftrightarrow 5m \le 0 \Leftrightarrow m \le 0\)
Với \(x < – {{2m} \over 3}\) Phương trình đã cho trở thành
\( – 3x – 2m = x – m \Leftrightarrow 4x = – m \Leftrightarrow x = – {m \over 4}\)
Ta có:
\( – {m \over 4} \ge – {{2m} \over 3} \Leftrightarrow – 3m \ge – 8m\)
\( \Leftrightarrow 5m < 0 \Leftrightarrow m < 0\)
Kết luận
Với m > 0 phương trình vô nghiệm;
Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0;
Với m < 0 phương trình có nghiệm \({x_1} = – {{3m} \over 2}\) và \({x_2} = – {m \over 4}\)
b) \(\left| {2x + m} \right| = \left| {x – 2m + 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \matrix{2x + m = x – 2m + 2(1) \hfill \cr 2x + m = – x + 2m – 2(2) \hfill \cr} \right.\)
Phương trình (1) \( \Leftrightarrow x = – 3m + 2\)
Phương trình (2) \( \Leftrightarrow 3x = m – 2 \Leftrightarrow x = {{m – 2} \over 3}\)
Vậy với mọi giá trị của m phương trình có nghiệm là:
\({x_1} = – 3m + 2$$ và $${x_2} = {{m – 2} \over 3}\)
c) m = 0 phương trình trở thành
\( – x – 2 = 0 = > x = – 2\)
\(m \ne 0\) phương trình đã cho là phương trình bậc hai, có \(\Delta = 4m + 1\)
Với \(m < – {1 \over 4}\) phương trình vô nghiệm;
Với \(m \ge – {1 \over 4}\) nghiệm của phương trình là
\({x_{1,2}} = {{1 – 2m \pm \sqrt {4m + 1} } \over {2m}}\)
d) Điều kiện của phương trình là \(m > {1 \over 2}\)
Với điều kiện đó vế trái dương, nên vế phải cũng dương nên m > 1. Lúc đó ta có:
\({{\sqrt {4x – 2} } \over {2x – 1}} = m – 1 \Leftrightarrow \sqrt {2(2x – 1)} = (m – 1)(2x – 1)\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {(2x – 1)} {\rm{[}}\sqrt 2 – (m – 1)\sqrt {2x – 1} {\rm{]}} = 0\)
\( \Leftrightarrow (m – 1)\sqrt {2x – 1} = \sqrt 2\)
\( \Leftrightarrow {(m – 1)^2}(2x – 1) = 2\)
\( \Leftrightarrow x = {{{{(m – 1)}^2} + 2} \over {2{{(m – 1)}^2}}} = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m – 1)}^2}}}\)
Giá trị \(x = {1 \over 2} + {1 \over {(m – 1){}^2}}\) thỏa mãn điều kiện \(x > {1 \over 2}\)
Kết luận. Với \(m \le 1\) phương trình vô nghiệm.
Với m > 1 nghiệm của phương trình là \(x = {1 \over 2} + {1 \over {{{(m – 1)}^2}}}\)
