Bài 3.1: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 – 7n\)
a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số ;
b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số ;
c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.
a) Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} – {u_n} = 1 – 7\left( {n + 1} \right) – \left( {1 – 7n} \right) = – 7 < 0\), vậy dãy số giảm.
b) Do \({u_{n + 1}} = {u_n} – 7\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = – 6;d = – 7\)
Công thức truy hồi là
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = – 6 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {u_n} – 7{\rm\,\,{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
c) \({S_{100}} = – 35250\)
Bài 3.2: Trong các dãy số (un)sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?
a) \({u_n} = 3n – 1\) ;
Advertisements (Quảng cáo)
b) \({u_n} = {2^n} + 1\) ;
c) \({u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} – {n^2}\) ;
d) \(\left\{ \matrix{
{u_1} = 3 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = 1 – {u_n} \hfill \cr} \right.\)
a) \({u_{n + 1}} – {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) – 1 – 3n + 1 = 3\)
Vì \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) dãy số là cấp số cộng với \({u_1} = 2,d = 3.\)
b) \({u_{n + 1}} – {u_n} = {2^{n + 1}} + 1 – {2^n} – 1 = {2^n}.\) Vì \({2^n}\) không là hằng số nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số cộng.
Advertisements (Quảng cáo)
c) Ta có \({u_n} = 2n + 1.\)
Vì \({u_{n + 1}} – {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 – 2n – 1 = 2,\) nên dãy đã cho là cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 2.\)
d) Để chứng tỏ \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số cộng, ta chỉ cần chỉ ra, chẳng hạn \({u_3} – {u_2} \ne {u_2} – {u_1}\) là đủ.
Bài 3.3: Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết :
a) \(\left\{ \matrix{
{u_1} + 2{u_5} = 0 \hfill \cr
{S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{
{u_4} = 10 \hfill \cr
{u_7} = 19 \hfill \cr} \right.\)
c) \(\left\{ \matrix{
{u_1} + {u_5} – {u_3} = 10 \hfill \cr
{u_1} + {u_6} = 7 \hfill \cr} \right.\)
d) \(\left\{ \matrix{
{u_7} – {u_3} = 8 \hfill \cr
{u_2}.{u_7} = 75 \hfill \cr} \right.\)
a) \({u_1} = 8,d = – 3.\)
b) \({u_1} = 1,d = 3.\)
c) \({u_1} = 36,d = – 13.\)
d) \({u_1} = 3,d = 2\) hoặc \({u_1} = – 17,d = 2.\)
Bài 3.4: Tính số các số hạng của cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right)\), nếu
\(\left\{ \matrix{
{a_2} + {a_4} + … + {a_{2n}} = 126 \hfill \cr
{a_2} + {a_{2n}} = 42 \hfill \cr} \right.\)
ĐS: n = 6
