Bài 3.5: Tìm cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết
a) \(\left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + … + {u_n} = a \hfill \cr
u_1^2 + u_2^2 + … + u_n^2 = {b^2} \hfill \cr} \right.\)
a) Ta có hệ
\(\left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Áp dụng công thức \({u_1} + {u_3} = 2{u_2}\) suy ra \({u_2} = 9\,\,\,\left( 3 \right)\)
Thay \({u_2} = 9\) vào (1) và (2) ta được
\(\left\{ \matrix{
{u_1} + {u_3} = 18 \hfill \cr
u_1^2 + u_3^2 = 194 \hfill \cr} \right.\)
Từ đây tìm được \({u_1} = 5,{u_3} = 13\) hoặc \({u_1} = 13,{u_3} = 5\)
Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5
b) Ta có
\(\eqalign{
& {b^2} = u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + … + {\left[ {{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]^2} \cr
& {\rm{ = }}nu_1^2 + 2{u_1}d\left[ {1 + 2 + … + \left( {n – 1} \right)} \right] + {d^2}\left[ {{1^2} + {2^2} + … + {{\left( {n – 1} \right)}^2}} \right] \cr
& {\rm{ = }}nu_1^2 + n\left( {n – 1} \right){u_1}d + {{n\left( {n – 1} \right)\left( {2n – 1} \right){d^2}} \over 6}\,\,\,\,\,\,\,\,(1){\rm{ }} \cr} \)
Mặt khác, \(a = n{u_1} + {{n\left( {n – 1} \right)d} \over 2}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (2) tìm được \({u_1}\) thay \({u_1}\) vào (1) đểm tìm d.
Kết quả \(d = \pm \sqrt {{{12\left( {n{b^2} – {a^2}} \right)} \over {{n^2}\left( {{n^2} – 1} \right)}}} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\({u_1} = {1 \over n}\left[ {a – {{n\left( {n – 1} \right)} \over 2}d} \right].\)
Bài 3.6: Cho ba góc \(\alpha ,\beta ,\gamma \) tạo thành một cấp số cộng theo thứ tự đó với công sai \(d = {\pi \over 3}\)
Chứng minh :
a) \(\tan \alpha .\tan \beta + \tan \beta .\tan \gamma + \tan \gamma .\tan \alpha = – 3\) ;
b) \(4\cos \alpha .\cos \beta .\cos \gamma = \cos 3\beta \)
Từ cấp số cộng \(\alpha ,\beta ,\gamma \) với công sai \(d = {\pi \over 3}\) suy ra
\(\alpha = \beta – {\pi \over 3};\gamma = \beta + {\pi \over 3}\)
Thay \(\alpha ,\gamma \) vào hệ thức và áp dụng công thức cộng cung.
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3.7: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) chứng minh rằng
Nếu \({{{S_m}} \over {{S_n}}} = {{{m^2}} \over {{n^2}}}\)
Thì \({{{u_m}} \over {{u_n}}} = {{2m – 1} \over {2n – 1}}\)
Ta có \({S_m} = {{2{u_1} + \left( {m – 1} \right)d} \over 2}m\) ;
\({S_n} = {{2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \over 2}n.\)
Theo giả thiết
\({{{S_m}} \over {{S_n}}} = {{\left[ {2{u_1} + \left( {m – 1} \right)d} \right]m} \over {\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]n}} = {{{m^2}} \over {{n^2}}}\)
Suy ra \(\left( {2{u_1} – d} \right)\left( {m – n} \right) = 0\) (với m ≠ n ).
Từ đó \({u_1} = {d \over 2}\)
Vậy \({{{u_m}} \over {{u_n}}} = {{{u_1} + \left( {m – 1} \right)d} \over {{u_1} + \left( {n – 1} \right)d}} = {{{d \over 2} + \left( {m – 1} \right)d} \over {{d \over 2} + \left( {n – 1} \right)d}} = {{2m – 1} \over {2n – 1}}\)
Bài 3.8: Tìm x từ phương trình
a) 2 + 7 + 12 + … + x = 245, biết 2, 7, 12, …, x là cấp số cộng.
b) \(\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 6} \right) + \left( {2x + 11} \right) + … + \left( {2x + 96} \right) = 1010\) biết 1, 6, 11, … là cấp số cộng.
a) Ta có
\(\eqalign{
& {u_1} = 2,d = 5,{S_n} = 245. \cr
& 245 = {{n\left[ {2.2 + \left( {n – 1} \right)5} \right]} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 5{n^2} – n – 490 = 0. \cr}\)
Giải ra được n = 10
Từ đó tìm được \(x = u{ _{10}} = 2 + 9.5 = 47\)
b) Xét cấp số cộng 1, 6, 11, …, 96. Ta có
\(96 = 1 + \left( {n – 1} \right)5 \Rightarrow n = 20\)
Suy ra \({S_{20}} = 1 + 6 + 11 + … + 96 = {{20\left( {1 + 96} \right)} \over 2} = 970\)
Và 2x.20 + 970 = 1010
Từ đó x = 1
